Classe di equivalenza
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In matematica, dato un insieme X e una relazione di equivalenza ~ tra elementi di X, la classe di equivalenza di un elemento a in X è il sottoinsieme composto dagli elementi di X che sono equivalenti ad a:
- [a] = { x ∈ X | x ~ a }
La nozione di classi di equivalenza è utile per costruire insiemi a partire da altri già costruiti. L'insieme di tutte le classi di equivalenza di X rispetto ad una relazione di equivalenza ~ è spesso indicato con X / ~ e chiamato insieme quoziente di X rispetto a ~. Quest'operazione può essere pensata (in modo molto approssimativo) come l'atto di "dividere" l'insieme di partenza tramite la relazione di equivalenza, da cui il nome "quoziente" e la scrittura, che ricordano entrambi la divisione.
Nel caso in cui X ha qualche struttura addizionale preservata da ~, il quoziente diventa un oggetto dello stesso tipo in modo naturale; la funzione che manda a in [a] è allora un epimorfismo. Vedi relazione di congruenza.
[modifica] Esempi
- Se X è l'insieme di tutte le automobili e ~ è la relazione di equivalenza "ha lo stesso colore di", allora una classe di equivalenza sarà quella delle automobili verdi. X / ~ potrebbe essere identificata intuitivamente con l'insieme dei colori delle automobili
- Consideriamo la relazione di equivalenza "modulo 2" nell'insieme degli interi: x~y se e solo se x-y è pari. Questa relazione dà origine ad esattamente due classi di equivalenza: [0] contiene tutti i numeri pari, mentre [1] contiene tutti i numeri dispari
- I numeri razionali possono essere costruiti come l'insieme delle classi di equivalenza di coppie pari di interi (a,b), con b diverso da zero, dove la relazione di equivalenza è definita come:
-
- (a,b) ~ (c,d) se e solo se ad = bc
- La classe di equivalenza a cui appartiene (a,b) può essere identificata con la frazione a/b.
- Qualunque funzione f : X → Y definisce una relazione di equivalenza su X secondo cui a ~ b (con a, b ∈ X) se e solo se f(a) = f(b). La classe di equivalenza di a è quindi la controimmagine di f(a).
- Dato un gruppo G ed un sottogruppo H, è possibile definire una relazione di equivalenza su G come x ~ y se e solo se xy -1 ∈ H. Le classi di equivalenza prendono il nome di laterali destri di H in G. Se H è un sottogruppo normale, allora l'insieme di tutti i laterali è esso stesso un gruppo.
- Ogni gruppo può essere partizionato in classi di equivalenza dette classi di coniugazione.
- La classe di omotopia di una funzione continua f è la classe di equivalenza di tutte le funzioni omotopiche a f.
- Nel processamento dei linguaggi naturali, una classe di equivalenza è un insieme di tutti i riferimenti a una singola persona, luogo, cosa, o evento, sia reale che concettuale. Ad esempio, nella frase "Gli azionisti di GE voteranno un successore per l'uscente CEO della società Jack Welch", GE e la società sono sinonimi, e quindi costituiscono una classe di equivalenza. Ci sono classi di equivalenza separate per azionisti di GE e Jack Welch.
[modifica] Proprietà
Per le proprietà delle relazioni di equivalenza si può affermare che a appartiene ad [a] e due classi di equivalenza qualsiasi sono o uguali o disgiunte. Ne segue che l'insieme di tutte le classi di equivalenza di X forma una partizione di X: ogni elemento di X appartiene ad una ed una sola classe di equivalenza. Allo stesso modo ogni partizione di X definisce una relazione di equivalenza su X.
Dalle proprietà delle relazioni di equivalenza segue anche che:
-
- a ~ b se e solo se [a] = [b].
Se ~ è una relazione di equivalenza su X, e P(x) è una proprietà degli elementi appartenenti ad X tale che ogni qual volta x ~ y, P(x) è vera se P(y) è vera, allora la proprietà P è detta invariante di classe rispetto alla relazione ~. Un caso particolare che si presenta spesso è quello in cui f è una funzione da X ad un altro insieme Y; se x~y implica f(x) = f(y) allora f è detta invariante di classe rispetto a ~, o semplicemente invariante rispetto a ~. Questo avviene, ad esempio, nella teria dei gruppi finiti.
In musica vedi equivalenza di ottava, equivalenza transposizionale, equivalenza inversionale, equivalenza enarmonica. La teoria degli insiemi musicale le sfrutta tutte, in modo più o meno marcato, mentre altre teorie fanno uso di una selezione di esse.
