Klasa abstrakcji

Z Wikipedii

Klasa abstrakcji elementu aX względem danej relacji równoważności R w zbiorze X to zbiór elementów xX, które są w relacji R z a. Formalnie: [a]_R = {b X : aRb} = {b X : (a,b)R}

Nazywa się ją też klasą równoważności (lub warstwą) elementu a i oznacza symbolem [a] albo a/R.

Tak zdefiniowane klasy abstrakcji są w teorii mnogości uogólniane, w ten sposób, że zamiast zbiorów w powyższej definicji występują tzw. klasy - obiekty, które mają pewne lecz nie wszystkie cechy zbiorów. Takie uogólnienie pozwoliło m.in. zastosować klasy równoważności do zdefiniowania liczb kardynalnych oraz porządkowych.

Każdy element zbioru, na którym określona jest dana relacja równoważności, należy do dokładnie jednej klasy abstrakcji względem tej relacji. Dwie dowolne klasy równoważności są rozłączne lub sobie równe. Formalnie: [a]_R = [b]_R aRb oraz [a]_R [b]_R [a]_R = [b]_R

Zbiór wszystkich klas abstrakcji nazywa się przestrzenią ilorazową, zbiorem ilorazowym lub ilorazem zbioru X przez relację R. Przestrzeń ilorazową względem relacji R oznaczamy symbolem X/R = {[a]_R : a X}, gdzie [a]_R X i [a]_R .

Odwzorowanie nazywamy odwzorowaniem ilorazowym, rzutowaniem naturalnym lub rzutowaniem kanonicznym – zwłaszcza w sytuacji, gdy na zbiorze X zadana jest pewna dodatkowa struktura, na przykład grupy lub przestrzeni topologicznej.

Klasy równoważności tworzą podział zbioru X. Każdy podział {X_i}_iI zbioru X wyznacza relację równoważności. aRb  : a,b X_i.

[edytuj] Przykłady

• W zbiorze wszystkich samolotów wprowadzamy relację: dwa samoloty są równoważne, gdy mogą przewieźć tę samą liczbę pasażerów. Jest to relacja równoważności — klasą abstrakcji danego samolotu zabierającego na pokład 50 osób jest zbiór wszystkich samolotów mogących przewieźć 50 osób.
• W zbiorze P wszystkich par (a, b) liczb naturalnych relacja ~ określona następująco: (a, b) ~ (c, d) ⇔ a + d = b + c jest relacją równoważności. Przestrzeń ilorazową P / ~ można utożsamić ze zbiorem liczb całkowitych. Klasie [(a, b)] elementu (a, b) odpowiada liczba a – b. Wychodząc od zbioru liczb naturalnych jako podstawowej struktury można w ten sposób skonstruować liczby całkowite jako obiekty pochodne. Podobną konstrukcję można przeprowadzić dla liczb wymiernych oraz liczb rzeczywistych. W tym ostatnim przypadku relację równoważności wprowadza się w zbiorze wszystkich ciągów Cauchy'ego liczb wymiernych.
• Niech n będzie ustaloną liczbą naturalną większą od 1 — w zbiorze Z liczb całkowitych wprowadzamy relację ≡: a ≡ b ⇔ n dzieli (a – b). Znów jest to relacja równoważności, a zbiór klas abstrakcji Z / ~ można utożsamić ze zbiorem Z_n = {0, 1, ..., n – 1} reszt z dzielenia liczb całkowitych przez n. Określając w odpowiedni sposób dodawanie i mnożenie klas abstrakcji, "nakładamy" na zbiór Z_n strukturę pierścienia Z modulo n. Jest to standardowa metoda konstruowania nowych obiektów w algebrze.
• Jeżeli φ : S₁ → S₂ jest homomorfizmem pewnej algebry ogólnej S₁ na S₂, to relacja ~ określona w S₁ następująco a~b ⇔ φ(a) = φ(b) jest relacją równoważności. Określając w odpowiedni sposób działania w zbiorze S₁ / ~, jak w poprzednim przykładzie "nakładamy" na S₁ / ~ strukturę algebry — ta algebra ilorazowa jest już izomorficzna z S₂. Konstrukcja ta jest szczególnie często wykorzystywana w teorii grup.
• Mając dany podział zbioru X można określić w zbiorze X relację równoważności jak następuje: x~y ⇔ x i y należą do tego samego zbioru podziału. Klasy abstrakcji poszczególnych elementów pokrywają się wówczas ze zbiorami tworzącymi podział.
• Przykład dla programistów: Obiekt danej klasy (w sensie programowania obiektowego) jest tym czym pojęcie klasy abstrakcji w odniesieniu do klasy (w sensie matematycznym).

[edytuj] Zobacz też

• grupa ilorazowa
• przestrzeń ilorazowa (algebra liniowa)