Commutatore

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Il commutatore è un operatore usato specialmente nella meccanica quantistica che quantifica quanto due operatori non commutano. Due operatori commutano quando è indifferente l'ordine in cui vengono applicati.

Dati gli operatori: $\hat{A}$ e $\hat{B}$

è definito nel seguete modo:

$\left [\hat{A}, \hat{B}\right ] = \hat{A} \hat{B} - \hat{B} \hat{A}$

Si dice che gli operatori $\hat{A}$ e $\hat{B}$ commutano quando:

$\left [\hat{A}, \hat{B}\right ] = 0$

[modifica] Proprietà

Il commutatore gode delle seguenti proprietà:

Relazioni dell'algebra di Lie:

$[A, B] = - [B, A]$
$[A, A] = 0$
$[A,[B, C]] + [B,[C, A]] + [C,[A, B]] = 0$

Altre proprietà:

$[A, B C] = [A, B] C + B [A, C]$
$[A B, C] = A [B, C] + [A, C] B$
$[A, B C] = [A B, C] + [C A, B]$
$[A B C, D] = A B [C, D] + A [B, D] C + [A, D] B C$

Se A è un elemento fissato dell'anello R, la prima relazione addizionale può essere interpretata come una regola di Leibniz per la mappa $D_A: R \rightarrow R$ data da $B \mapsto [A,B] \ .$ . In altre parole: la mappa D_A definisce una derivazione dell'anello R.

[modifica] Esempio posizione momento

Siano gli operatori:

Di posizione:

$\hat{x} \equiv x$

e di momento:

$\hat{p} \equiv -i\hslash\frac{\partial}{\partial x}$

Applicando l'operatore di commutazione su $\hat{x}$ e $\hat{p}$ si ottiene:

$\left [\hat{x}, \hat{p}\right ] = x \left( -i\hslash\frac{\partial}{\partial x} \right) - \left(-i\hslash \frac{ \partial}{\partial x} \right) x$

Se ora si applica il l'operatore ottenuto nella precedente equazione sulla funzione $f (x)$ si ottiene il seguente risultato:

$\left [\hat{x}, \hat{p}\right ] f(x) = x \left( -i\hslash\frac{\partial}{\partial x} \right) f(x) +i\hslash \frac{ \partial}{\partial x} \left( x f(x) \right) = -i \hbar \left[ x\frac{\partial}{\partial x}f(x) - f(x) -x \frac{\partial}{\partial x}f(x) \right]$

Quindi per ogni $f$ :

$\left [\hat{x}, \hat{p}\right ] f(x) = i \hslash f(x)$

Da questo si conclude che:

$\left [\hat{x}, \hat{p}\right ] = i \hslash$

[modifica] Anticommutatore

L'anticommutatore è un'operatore usato specialmente in meccanica quantistica che prende in ingresso due operatori. L'anticommutatore tra A e B è definito come: