Comutador (matemática)
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Na matemática, Comutador de dois elementos (g e h) de um grupo é o também elemento do grupo dado por:
- [g,h] = g − 1h − 1gh.
Dois elementos no grupo comutam se e somente se o seu comutador é o elemento identidade.
Para dois elementos (A e B) em um anel, o comutador é definido como
- [A,B] = AB − BA.
A e B comutam se e somente se seu comutador é nulo.
[editar] Propriedades
[A,BC] = B[A,C] + [A,B]C
[AB,C] = A[B,C] + [A,C]B
[A,A] = 0
[ABC,D] = AB[C,D] + A[B,D]C + [A,D]BC
![\left[ A^n, B \right] = \sum_{j=1}^{n} A^{j-1}[A,B]A^{n-j}](../../../math/6/f/7/6f762278805dc6d35493e9a716179c6e.png)
![\left[ \prod_{i=1}^n A_i, B \right] = \sum_{j=1}^{n} \left( \prod_{i=1}^{j-1} A_i \right) [A_j,B] \left( \prod_{i=j+1}^n A_i \right)](../../../math/b/6/5/b6576e765343a7f3e21191f78d07fdfa.png)
