Congettura debole di Goldbach
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Nella teoria dei numeri, la congettura debole di Goldbach, conosciuta anche come congettura di Goldbach sui dispari o problema dei 3 primi, afferma che:
- Ogni numero dispari maggiore di 7 può essere espresso come somma di tre primi dispari.
o equivalentemente:
- Ogni numero dispari maggiore di 5 può essere espresso come somma di tre numeri primi.
(Un numero primo può essere usato più di una volta nella somma.)
Questa congettura è chiamata "debole" perché la congettura di Goldbach "forte" sulla somma di due primi, se dimostrata, implicherebbe banalmente la congettura debole. (Infatti se ogni numero pari >4 è la somma di due primi dispari, aggiungendo semplicemente 3 ad ogni numero pari >4 produrrà i numeri dispari >7.)
La congettura non è stata dimostrata, ma sono stati ottenuti risultati molto vicini. Nel 1923, Hardy E Littlewood mostrarono che, assumendo vera una certa generalizzazione dell'ipotesi di Riemann, la congettura è vera per tutti i numeri dispari sufficientemente grandi. Nel 1937 un matematico russo, Ivan Vinogradov, fu in grado di eliminare la dipendenza dall'ipotesi di Riemann e dimostrò direttamente che ogni numero dispari abbastanza grande può essere espresso come somma di tre primi. Nonostante Vinogradov non fosse in grado di dire quando un numero fosse abbastanza grande, il suo allievo K. Borodzin dimostrò che 314,348,907 è un limite superiore sufficiente. Questo numero ha più di sei milioni di cifre, pertanto verificare ogni numero dispari fino a quel limite è praticamente impossibile. Fortunatamente, nel 1989 Wang e Chen abbassarono questo limite superiore a 1043,000. Se si dimostra che ogni numero dispari minore di 1043,000 è la somma di tre primi, la congettura di Goldbach debole è effettivamente dimostrata! Tuttavia l'esponente necessita ancora una grossa riduzione prima che sia possibile procedere con un controllo sistematico attraverso il computer.
Nel 1997, Deshouillers, Effinger, Te Riele e Zinoviev dimostrarono che l'ipotesi di Riemann generalizzata implica la congettura di Goldbach debole. Questo risultato combina un'affermazione generale per numeri maggiori di 1020 con una ricerca estensiva al computer per casi piccoli.
[modifica] Collegamenti esterni
- Deshouillers, Effinger, Te Riele and Zinoviev, "A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis", Electronic Research Announcements of the American Mathematical Society, Vol 3, pp. 99-104 (1997). Disponibile on-line all'indirizzo http://www.ams.org/era/1997-03-15/S1079-6762-97-00031-0/S1079-6762-97-00031-0.pdf
