Derivata sostanziale
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La derivata sostanziale di una funzione scalare f, generalmente dipendente dallo spazio e dal tempo, è il differenziale della funzione stessa calcolato sugli spostamenti infinitesimi dx, dy, dz che avvengono nel tempo dt.
Presa una funzione scalare f=f(x,y,z,t), il suo differenziale sarà
.
Adesso per calcolare la derivata di f rispetto al tempo, è necessario dividere ambo i membri per dt. Ponendo
si ottiene
.
L'ultima espressione scritta è proprio la derivata sostanziale della fuzione scalare considerata.
Si osservi che la derivata sostanziale di un vettore è un vettore avente per componenti le derivate sostanziali delle componenti.
La derivata sostanziale ha notevole importanza nella meccanica dei fluidi. In generale si è interessati a conoscere la variazione nel tempo di una grandezza fisica associata ad un punto materiale generico del fluido che passa in x all'istante t. Detta b la grandezza fisica generica in questione, la formulazione matematica della sua derivata sostanziale è la seguente:
