Teorema del trasporto

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Il teorema del trasporto di Reynolds permette di portare l'operazione di derivazione sotto il segno di integrale. È usato nella meccanica dei fluidi per studiare le variazioni nel tempo di una grandezza fisica associata ad un dominio. È usato ad esempio per dimostrare l'equazione di continuità in forma indefinita dei sistemi per ogni evoluzione dinamica.

[modifica] Formulazioni del teorema

Evoluzione nel tempo di un sistema fluido

Sia dato un sistema fluido contenuto in un dominio Ω chiuso, che nel tempo subisce un'evoluzione, al quale è associata una grandezza materiale di campo $\vec{F} [\vec{x}(t),t]$ . Si vuole conoscere il suo valore in tutto il dominio ( $\int_\Omega \vec{F} [\vec{x}(t),t] d\Omega$ ) e la sua evoluzione temporale ( $\frac{D}{Dt} \ \int_\Omega \vec{F} [\vec{x}(t),t] d\Omega$ ). Reynolds dimostrò questa relazione (1° formulazione):

$\frac{D}{Dt} \int_\Omega \vec{F} [\vec{x}(t),t] d\Omega = \int_\Omega ( \frac{D \vec F}{Dt} + \vec F \ \nabla \cdot \vec V ) d\Omega$

Il primo termine del secondo integrale è proprio la derivata sostanziale di F: $\frac{D \vec F}{Dt} = \frac{\delta F}{\delta t} + \vec V \nabla F$ . Sostituendo e applicando una proprietà degli operatori differenziali ( $\vec V \ \nabla F + \vec F \ \nabla \cdot \vec V = \nabla \cdot (F \ \vec V)$ ) si ottiene la seconda formulazione:

$\frac{D}{Dt} \int_\Omega \vec{F} [\vec{x}(t),t] d\Omega = \int_\Omega ( \frac{\delta \vec F}{\delta t} + \nabla \cdot (F \ \vec V) ) d\Omega$

Applicando il teorema della divergenza si ottiene da questa la 3° formulazione:

$\frac{D}{Dt} \int_\Omega \vec{F} [\vec{x}(t),t] d\Omega = \int_\Omega \frac{\delta \vec F}{\delta t} d \Omega - \int_{\delta \Omega} F \ \vec V \cdot \hat n \ d (\delta \Omega)$

[modifica] Voci correlate

Teorema della divergenza

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