Diagonale
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In geometria, una diagonale è un segmento immaginario che congiunge due vertici non consecutivi di un poligono.
Come si può vedere, contrariamente a quanto si pensa, non è detto che le diagonali siano solo interne al perimetro del poligono, ciò avviene esclusivamente solo nei poligoni convessi, nei poligoni concavi le diagonali posso benissimo giacere in parte dentro e in parte fuori al perimetro, così come essere completamente esterne.
Il numero delle diagonali di un poligono di n vertici è dato dalla formula:
Dimostrazione
Si dimentichi per un attimo il poligono e lo si sostituisca con l’insieme degli n punti corrispettivi dei vertici. Si tracci da ciascun punto le diagonali verso ognuno dei restanti n-1 (per semplicità ora non si farà distinzioni fra lati e diagonali); si ha quindi che da ogni vertice del poligono partono in totale n-1 diagonali, se però le si vogliono contare correttamente occorre fare il seguente ragionamento, da:
- A1 partono n – 1 diagonali
- A2 partono n – 2 diagonali (si toglie quella proveniente da A1)
- A3 partono n – 3 diagonali (si tolgono quelle provenienti da A1 e A2)
- .......
- An partono n – n = 0 (ogni punto è già congiunto da una propria diagonale)
Il numero totale delle diagonali è quindi la sommatoria di una progressione aritmetica
Da cui però bisogna togliere gli n lati, che inizialmente sono stati considerati per semplicità delle diagonali, quindi
Come si può verificare dalla formula, il triangolo con i suoi 3 lati è l'unico poligono a non avere diagonali, in quanto ogni vertice è congiunto con i restanti mediante i lati.
