Distanza tra due rette sghembe

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Nell'ambito della Geometria descrittiva ove è definito il prodotto scalare canonico (definito positivo) la distanza tra rette indica la distanza minima lineare tra due rette che non sono, tra loro, ne paralleli né incidenti. Per calcolarla dobbiamo ricordare i concetti di prodotto scalare e norma indotta da tale prodotto scalare. Il prodotto scalare euclideo tra due vettori dello spazio euclideo in termini di coordinate si definisce:

$\langle \vec v , \vec w \rangle = \sum_{i=1}^{n} x_i y_i$

Si definisce norma indotta dal prodotto scalare euclideo:

$\|\vec v \| = \sqrt{\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2}}$

Per approfondire, vedi la voce Prodotto scalare.

Per approfondire, vedi la voce Norma.

[modifica] Distanza nel piano e nello spazio

Per approfondire, vedi la voce Distanza.

Si definisce distanza tra due punti nel piano $P = (x 1, y 1)$ e $Q = (x 2, y 2)$ :

$d(P,Q) = \|\vec{PQ}\| = \langle \vec{PQ} , \vec{PQ} \rangle = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

Nello spazio $P = (x 1, y 1, z 1)$ e $Q = (x 2, y 2, z 2)$ :

$d(P,Q) = \|\vec{PQ}\| = \langle \vec{PQ} , \vec{PQ} \rangle = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

[modifica] Distanza retta - retta

La misura della distanza tra due rette si calcola esattamente come la distanza punto-retta. Prendiamo un punto appartenente alla retta r, diciamo P e prendiamo un punto sulla retta s diciamo Q. La retta s è generata da un vettore diciamo $\vec v$ . La distanza $\vec{PQ}$ è la distanza cercata: calcoliamo la proiezione di $\vec{PQ}$ parallelamente a $\vec v$ :

$\frac{|\vec{PQ} \cdot \vec v|}{|\vec v|}$

e poi calcoliamo la distanza:

$d(s,r) = d(Q,P) = \frac{|\vec{PQ} \cdot \vec v |}{|\vec v|}$

Vediamo esplicitamente in termini di coordinate. Sia allora data una retta r di parametri direttori $(l, m, n)$ e un punto su essa $P 1 = (x 1, y 1, z 1)$ e una retta r' di parametri direttori $(l', m', n')$ e un punto su essa $P 2 = (x 2, y 2, z 2)$ allora:

$d(r,r') = \left | \frac{\begin{vmatrix} x_1 - x_2 & y_1 -y_2 & z_1 - z_2 \\ l & m & n \\ l' & m' & n' \end{vmatrix}}{\sqrt{\left(\begin{vmatrix} l & m & n \\ l' & m' & n' \end{vmatrix}\right)^2}} \right|$