Ex falso quodlibet

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Questa voce di matematica è solo un abbozzo: contribuisci a migliorarla secondo le convenzioni di Wikipedia.

La locuzione latina ex falso quodlibet (ossia: "dal falso (segue una) qualsiasi cosa (scelta) a piacere") indica nella logica classica un principio logico che stabilisce come da un enunciato contraddittorio consegue logicamente qualsiasi altro enunciato. La definizione "ex falso quodlibet" per questo teorema è solitamente attribuita a Duns Scoto.

Nel linguaggio della logica proposizionale possiamo esprimere il principio con la formula:

$(A \land \lnot A) \to B.$

Tale principio è stato utilizzato, nella scolastica, anche come pretesa di spiegazione di come Dio abbia creato l'Universo a partire dalla negazione del principio di non contraddizione. Ma ai sostenitori di questa teoria spesso veniva ribattuto che, invece, in base alla consequentia mirabilis, si poteva creare anche a partire dal nulla proprio grazie al principio di non contraddizione.

[modifica] Dimostrazione

Siano A e B due affermazioni, e $\neg$ A l'opposto di A. Si ha allora

$(A \wedge \neg A).\,$

Ossia "A e NON A" è vera, Posso allora inserire "(A e NON A) O B" essendo vera la prima, è vera anche questa.

$(A \wedge \neg A)\vee B$

Per la proprietà distributiva

$(A \wedge B) \vee (\neg A\wedge B)$

Vale dunque una delle due seguenti

$(A \wedge B),\,$

oppure

$(\neg A \wedge B).\,$

Perciò a prescindere dalla verità di A, è vera B. E, diabolicamente, anche il suo contrario. Per questa proprietà, viene anche detto principio di esplosione.

[modifica] Esempio di Bertrand Russell

Possiamo ricordare un ironico esempio a suo tempo proposto da Bertrand Russell. Supponiamo che sia vera una affermazione falsa come 4=5 (l'affermazione A nella notazione vista sopra può essere : "4 è diverso da 5" e non-A: "4 è uguale a 5" ), allora sottraendo 3 da entrambi i membri otteniamo: 2=1. Ora, io e il Papa siamo due, ma 2=1 quindi io e il Papa siamo uno, quindi io sono il Papa.