Funzione di produzione CES

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Le funzioni di produzione CES (dall'inglese Constant Elasticity of Substitution) sono una particolare classe di funzioni di produzione, caratterizzate da elasticità di sostituzione tra due suoi argomenti costante.

Questa classe di funzioni venne originariamente proposta da Kenneth Arrow, come generalizzazione delle proprietà delle funzioni di produzione à la Cobb-Douglas.

Esiste inoltre una classe di funzioni di utilità CES, avente la medesima forma algebrica delle funzioni di produzione qui esaminate.

Indice

1 Formulazione e proprietà
2 Esempi di funzione CES
3 Cobb-Douglas come caso particolare della CES
4 Riferimenti bibliografici
5 Voci correlate

[modifica] Formulazione e proprietà

La forma generale di una funzione di produzione CES è:

$Q(x_1,x_2,..,x_n)=b \left(\sum_{i=1}^{n}\alpha_i x_i^{-\rho}\right)^{-\frac{1}{\rho}}, \ b >0,\ \rho > -1,\ \alpha_i \ge 0, \ x_i \ge 0, \ i=1,2,\ldots,n$

con $\sum_{i=1}^{n}\alpha_i = 1$ , dove:

x_i indica il livello di impiego del fattore di produzione i-esimo;
Q indica la quantità prodotta;
b (il parametro efficienza) è una costante moltiplicativa che dipende dal livello di efficienza nell'utilizzo dei fattori produttivi;
α_i (il parametro distribuzione) indica l'impatto del fattore di produzione i-esimo sulla produzione totale;
ρ (il parametro sostituzione) è collegato all'elasticità di sostituzione.

La produttività marginale di i è data da:

$\frac{\partial Q}{\partial x_i} = b^{-\rho} \alpha_i \left ( \frac{Q}{x_i} \right )^{1+\rho}$

Il saggio marginale di sostituzione tecnica (SMST) del fattore i con il fattore j, essendo uguale al rapporto tra le produttività marginali dei due fattori, è dato dunque da:

$SMST_{ji} = \frac{\partial Q/\partial x_i}{\partial Q/\partial x_j} = \frac{\alpha_i}{\alpha_j }\left (\frac{x_j}{x_i} \right )^{1+\rho}$

da cui deriva la seguente relazione:

$\log\frac{x_j}{x_i} = - \frac{1}{1+\rho} \log \frac{\alpha_i}{\alpha_j} + \frac{1}{1+\rho}\log SMST_{ji}$

$\frac{d \log \frac{x_j}{x_i}}{d \log SMST_{ji}} = \frac{1}{1+\rho}$ .

Poiché l'elasticità di sostituzione nella produzione è definita come la variazione percentuale del rapporto tra il livello di impiego di due fattori divisa per la variazione percentuale del loro prezzo relativo avremo:

$\sigma = \frac{\Delta \left(\frac{x_j}{x_i}\right)}{\left(\frac{x_j}{x_i}\right)} / \frac{\Delta \left(\frac{p_j}{p_i}\right)}{\left(\frac{p_j}{p_i}\right)} = \frac{d \log \frac{x_j}{x_i}}{d \log \frac{p_j}{p_i}}$

Figura 1: Funzione CES a due fattori con elasticità di sostituzione uguale a 2

Figura 2: Funzione CES a due fattori con elasticità di sostituzione uguale a 0.67

e poiché si assume che, in equilibrio, il saggio marginale di sostituzione tecnica uguaglia il prezzo relativo dei fattori abbiamo:

$\sigma = \frac{d \log \frac{x_j}{x_i}}{d \log SMST_{ji}} = \frac{1}{1+\rho}$

[modifica] Esempi di funzione CES

A titolo esemplificativo si riportano i grafici di due funzioni CES a due fattori.

Le funzioni sono del tipo:

$Q = b \left(\alpha L^{-\rho} + (1-\alpha) K^{-\rho} \right)^{-\frac{1}{\rho}}$

I valori dei parametri sono:

b = 3;
α = 0.6.

Nella prima funzione (Figura 1) ρ è posto uguale a -0.5; nella seconda (Figura 2) è invece uguale a 0.5. Le elasticità di sostituzione sono dunque nelle due funzioni uguali, rispettivamente, a 2 e 2/3.

L'intersezione delle funzioni con il piano (Q = 50) permette di osservare la curvatura degli isoquanti associati a quel livello di produzione nei due casi.

Come può notarsi gli isoquanti nel primo caso hanno una forma più "liscia". Questo indica una maggiore sostituibilità tra i due fattori. Nel primo caso, si assume cioè che una diminuzione dei lavoratori impiegati sia facilmente rimpiazzabile con un aumento delle macchine, cioè del capitale fisico, e viceversa.

[modifica] Cobb-Douglas come caso particolare della CES

La funzione di produzione Cobb-Douglas, che ha elasticità di sostituzione costante e unitaria, può essere considerata un caso particolare della CES.

Infatti, nonostante la funzione di produzione CES sia indefinita nel caso in cui ρ = 0, è possibile dimostrare che questa tende ad una Cobb-Douglas per ρ che tende a zero.

Trasformando la funzione in logaritmi otteniamo infatti:

$\log \frac{Q}{b} = -\frac{\log \left ( \sum_{i=1}^{n}\alpha_i x_i^{-\rho} \right )}{\rho}$

Applicando la regola di L'Hopital si ha:

$\lim_{\rho \rightarrow 0} \log \frac{Q}{b} = \lim_{\rho \rightarrow 0} - \frac{ d \log \left ( \sum_{i=1}^{n}\alpha_i x_i^{-\rho} \right ) / d \rho}{d \rho / d \rho} = \sum_{i=1}^n \alpha_i \log x_i = \log \left ( \prod_{i=1}^{n} x_i^{\alpha_i} \right )$

da cui:

$\lim_{\rho \rightarrow 0} Q = b \left ( \prod_{i=1}^{n} x_i^{\alpha_i} \right )$

[modifica] Riferimenti bibliografici

Arrow, K.J.; Chenery, H.B.; Minhas, B.S. & Solow, R. "Capital-Labor Substitution and Economic Efficiency", The Review of Economics and Statistics, 1961, August - l'articolo in cui venne originariamente proposta la funzione;
Chiang, A. C. Introduzione all'Economia Matematica, Bollati Boringhieri, Torino, 2002;