Funzione di utilità CES

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La funzione di utilità CES (dall'inglese Constant Elasticity of Substitution) è una particolare funzione di utilità, caratterizzata da elasticità di sostituzione tra due suoi argomenti costante.

Questa classe di funzioni fu originariamente proposta da Kenneth Arrow, come generalizzazione delle proprietà delle funzioni di utilità à la Cobb-Douglas.

Esiste inoltre una classe di funzioni di produzione CES, avente la medesima forma algebrica della funzione di utilità qui esaminata.

[modifica] Formulazione e proprietà

La forma generale di una funzione di utilità CES (Constant Elasticity of Substitution) è:

$U(c_1,c_2,..,c_n)= b \left(\sum_{i=1}^{n}\alpha_i c_i^{-\rho}\right)^{-\frac{1}{\rho}} \ b >0,\ \rho > -1,\ \alpha_i \ge 0, \ c_i \ge 0, \ i=1,2,\ldots,n$

con $\sum_{i=1}^{n}\alpha_i = 1$ , dove $c i$ indica il livello di consumo del bene i-esimo, U indica il livello di utilità, mentre $\ \alpha_1, \alpha_2,..., \alpha_n, \rho$ e b sono parametri.

L'utilità marginale di i è data da:

$\frac{\partial U}{\partial c_i} = b\alpha_i c_i^{-\rho-1}\left(\sum_{i=1}^{n}\alpha_i c_i^{-\rho}\right)^{-\frac{1+\rho}{\rho}} = b^{-\rho} \alpha_i \left ( \frac{U}{c_i} \right )^{1+\rho}$

Il saggio marginale di sostituzione (SMS) del bene i con il bene j, essendo uguale al rapporto tra le utilità marginali dei due beni, è dato dunque da:

$SMS_{ji} = \frac{\partial U/\partial c_i}{\partial U/\partial c_j} = \frac{\alpha_i}{\alpha_j }\left (\frac{c_j}{c_i} \right )^{1+\rho}$

da cui deriva la seguente relazione:

$\log\frac{c_j}{c_i} = - \frac{1}{1+\rho} \log \frac{\alpha_i}{\alpha_j} + \frac{1}{1+\rho}\log SMS_{ji}$

$\frac{d \log \frac{c_j}{c_i}}{d \log SMS_{ji}} = \frac{1}{1+\rho}$ .

Poiché l'elasticità di sostituzione nel consumo è definita come la variazione percentuale del rapporto tra il consumo di due beni divisa per la variazione percentuale del loro prezzo relativo:

$\sigma = \frac{\Delta \left(\frac{c_j}{c_i}\right)}{\left(\frac{c_j}{c_i}\right)} / \frac{\Delta \left(\frac{p_j}{p_i}\right)}{\left(\frac{p_j}{p_i}\right)} = \frac{d \log \frac{c_j}{c_i}}{d \log \frac{p_j}{p_i}}$