Funzione di utilità CRRA

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La forma generale di una funzione di utilità istantanea CRRA (Constant Relative Risk Aversion), cioè con coefficiente relativo di avversione al rischio costante, è:

$U(c_t)= \frac{c_t^{1-\gamma}}{1-\gamma} \ \forall \gamma > 0, \gamma \neq 1$

$U(c_t)= \log c_t \ \ \ \textrm{se} \ \gamma = 1$

dove $c t$ indica il livello di consumo al tempo $t$ , $U$ indica il livello di utilità istantanea e $γ$ è un parametro. La funzione di utilità CRRA rientra nella più generale classe di funzioni di utilità HARA.

In questa funzione l'utilità marginale del consumo al tempo $t$ è uguale a:

$\frac{\partial U}{\partial c_t} = c_t^{-\gamma}$

Il saggio marginale di preferenza intertemporale (SMPI), cioè il saggio marginale di sostituzione del consumo al tempo $t$ con il consumo al tempo $t + n$ , essendo uguale al rapporto tra le utilità marginali dei consumi, è dato dunque da:

$SMPI_{t+n,t} = \left( \frac{c_{t+n}}{c_t} \right)^{-\gamma}$

da cui segue:

$\frac{d \log \left (\frac{c_{t+n}}{c_t} \right)}{d \log SMPI_{t+n,t}} = -\frac{1}{\gamma} = \sigma$

dove $σ$ è l'elasticità intertemporale di sostituzione, cioè l'elasticità di sostituzione dei livelli di consumo tra $t + n$ e $t$ .

Quando la funzione di utilità istantanea è utilizzata per descrivere attitudini al rischio, $γ$ può avere un'interpretazione alternativa. Infatti, essendo il coefficiente di avversione relativa al rischio dato dal rapporto tra la derivata seconda e la derivata prima della funzione moltiplicato per la variabile indipendente, in questo caso avremo:

$-c_t\frac{U''(c_t)}{U'(c_t)} = -c_t\frac{-\gamma c_t^{-(\gamma+1)}}{c_t^{-\gamma}}=\gamma$

Una specificazione alternativa della funzione di utilità CRRA è la seguente:

$U(c_t)= \frac{c_t^{1-\gamma}-1}{1-\gamma}$

In questo caso il saggio marginale di preferenza intertemporale risulta uguale a:

$SMPI_{t+n,t} = \left( \frac{c_{t+n}}{c_t} \right)^\gamma$

e l'elasticità intertemporale di sostituzione $\sigma_{t+n,t} = \frac{1}{\gamma}$ .

[modifica] Bibliografia

Kreps, David (1990) A Course in Microeconomic Theory, New Jersey: Princeton University Press ISBN 0691042640, un testo di carattere introduttivo, in inglese;
Mas-Colell, Andreu, Whinston, Michael, Green, Jerry (1995) Microeconomic Theory, Oxford: Oxford University Press ISBN 0195073401, il testo di riferimento per un corso di dottorato, più impegnativo di quello di Kreps, in inglese.