Funzione di utilità Cobb-Douglas

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Le funzioni di utilità Cobb-Douglas sono una classe di funzioni di utilità rappresentabili come $u:\mathbb{R}^N\mapsto\mathbb{R}$ , dove:

$u(x_1,\ldots,x_N)=\prod_{i=1}^{N}x_{i}^{\alpha_i},\quad\alpha_i\geq 0,\ i=1,\ldots,N$

in cui u indica il livello di utilità e x_i il consumo del bene i-esimo, mentre α₁, α₂,...,α_n sono costanti.

È comune imporre la normalizzazione $\ \sum_i \alpha_i=1$ , ma non è in generale necessario.

Per le loro proprietà particolarmente convenienti (differenziabilità, quasiconcavità) e la facilità con cui è possibile trattarle analiticamente, sono spesso utilizzate nei corsi introduttivi di microeconomia.

Le funzioni di costo e di produzione di Cobb-Douglas hanno la medesima forma algebrica delle funzioni di utilità qui considerate.

[modifica] Proprietà

Data una generica funzione di utilità Cobb-Douglas l'utilità marginale del bene i-esimo è data da:

$\frac{\partial U}{\partial x_i} = \frac{\alpha_i}{x_i}\prod_{i=1}^{N}x_{i}^{\alpha_i} = \alpha_i \frac{U}{x_i}$

Il saggio marginale di sostituzione (SMS) del bene j con il bene i è dato da:

$SMS_{ji} = \frac{\partial U/\partial x_i}{\partial U/\partial x_j} = \frac{\alpha_i x_j}{\alpha_j x_i}$

L'elasticità di sostituzione (σ) è costante ed unitaria. Infatti, dall'equazione precedente deriva:

$\log SMS_{ji} = \log\frac{\alpha_i}{\alpha_j} + \log \frac{x_j}{x_i}$

Ricordando che l'elasticità di sostituzione nel consumo si definisce come la variazione percentuale del rapporto tra il consumo di due beni divisa per la variazione percentuale del loro prezzo relativo:

$\sigma = \frac{d \left(\frac{x_j}{x_i}\right)}{\left(\frac{x_j}{x_i}\right)} / \frac{d \left(\frac{p_i}{p_j}\right)}{\left(\frac{p_i}{p_j}\right)} = \frac{d \log \frac{x_j}{x_i}}{d \log \frac{p_i}{p_j}}$

e, poiché in genere si assume che in equilibrio il saggio marginale di sostituzione eguagli il prezzo relativo dei beni, dalle equazioni precedenti segue che

$\sigma = \frac{d \log \frac{x_j}{x_i}}{d \log SMS_{ji}} = 1$ .

Le funzioni Cobb-Douglas possono anche essere viste come un caso particolare delle funzioni CES, quello in cui il parametro ρ delle CES sia uguale a zero.

[modifica] Illustrazione: funzioni di domanda con utilità Cobb-Douglas

Si consideri il problema di un consumatore che intende massimizzare la propria utilità derivante dal consumo di due beni, sottostando al vincolo imposto dalla propria ricchezza $\ w$ . Si supponga, in particolare, che il consumatore sia caratterizzato da una funzione di utilità di tipo Cobb-Douglas; si intende dunque risolvere il problema di massimo:

$\ \max_{x_1,x_2} u(x_1,x_2)=x_1^{\alpha}x_2^{\beta}\quad\textrm{s.t.}\ p_1x_1+p_2x_2\leq w$

Il problema equivale a:

$\ \max_{x_1,x_2} \ln u(x_1,x_2)=\alpha \ln x_1+\beta\ln x_2\quad\textrm{s.t.}\ p_1x_1+p_2x_2\leq w$

Il problema si affronta con il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. La Lagrangiana associata a quest'ultimo problema è:

$\ \mathcal{L}(x_1,x_2,\lambda)=\alpha \ln x_1+\beta\ln x_2-\lambda(p_1x_1+p_2x_2-w)$

Le condizioni del primo ordine per un massimo sono:

$\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_1} = \frac{\alpha}{x_1}-\lambda p_1=0$

$\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_2} = \frac{\beta}{x_2}-\lambda p_2=0$

$\ \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda} = p_1x_1+p_2x_2-w=0$

Dalle prime due espressioni si ottiene:

$\ x_2=\frac{\beta}{\alpha}\frac{p_1}{p_2}x_1$

Sostituendo nella terza condizione si ha:

$\ x_2=\frac{\beta}{\alpha+\beta}\frac{w}{p_2}$

nonché:

$\ x_1=\frac{\alpha}{\alpha+\beta}\frac{w}{p_1}$

Si osservi che la quasiconcavità della funzione obiettivo, che diventa concavità stretta nel caso in cui $\ \alpha + \beta < 1$ , e il fatto che si stiano ricercando soluzioni nell'ortante positivo implicano che non è necessario considerare le condizioni di secondo ordine. Le espressioni sopra rappresentano dunque le funzioni di domanda del consumatore per i beni 1 e 2, che dipendono dalla ricchezza (o reddito) $\ w$ , nonché dai prezzi $\ p_1$ e $\ p_2$ .