Funzione di variabile complessa

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Si definisce funzione di variabile complessa una funzione complessa di una variabile complessa. In genere la variabile complessa si denota con z, la sua parte reale con x e la sua parte immaginaria con y, in modo che si possa scrivere $\,z = x + iy\,$ . Una funzione di variabile complessa f(z) corrisponde ad una legge che associa in modo univoco a un punto z di un sottoinsieme del piano complesso, il dominio della funzione, un punto che può considerarsi appartenere ad un secondo piano e più circoscrittamente costituisce il codominio della funzione.

È interessante notare come nel campo complesso le funzioni trigonometriche sono esprimibili in termini della funzione esponenziale e della logaritmica.

In campo fisico, una Funzione di variabile complessa può essere considerata la funzione d'onda Ψ(x,t), utile in Meccanica Quantistica e presente, tra l'altro, nell'Equazione di Schrödinger. Sempre in Meccanica Quantistica, non è tanto rilevante la funzione complessa Ψ(x,t), (poiché, producendo numeri immaginari, non può rappresentare grandezze fisiche), ma è rilevante il suo valore assoluto, elevato al quadrato $| Ψ(x, t) | 2$

Le più utili e interessanti tra le funzioni di variabile complessa sono le funzioni olomorfe, cioè, secondo la definizione di Cauchy, le funzioni dotate di una determinata funzione derivata (e conseguentemente di infinite derivate). Le condizioni che garantiscono il carattere olomorfo di una funzione di variabile complessa sono dette condizioni di Cauchy-Riemann o condizioni di monogeneità. Da una funzione olomorfa si ottiene, mediante operazioni di prolungamento analitico una funzione analitica, entità che è da considerare una funzione multivoca; le condizioni di monogeneità, di conseguenza, sono chiamate anche condizioni di analiticità.

[modifica] Esempi

Segue un elenco delle principali funzioni di variabile complessa, che in effetti, ad esclusione delle prime 5, sono funzione olomorfe.

parte reale: $\Re\ z = x$
parte immaginaria: $\Im\ z = y$
complesso coniugato: $\bar{z} = x - iy$
argomento: $\mbox{arg}\ z = \mbox{atan}\frac{y}{x}$
modulo: $|z| = \sqrt{x^2+y^2}$
esponenziale: $e^{iz} = \cos z+i \sin z \frac{}{}$
logaritmo: $\ln z = \ln |z| +i \arg z +i2k\pi\ ~~\forall k\in\mathbb{Z}$
radice: $\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|}\cdot\left(\cos \frac{z}{n} + i \sin\frac{z}{n}\right) \frac{}{}$
seno: $\sin z = \frac{1}{2i}(e^{iz}-e^{-iz})$
coseno: $\cos z = \frac{1}{2}(e^{iz}+e^{-iz})$
tangente: $\tan z = \frac{\sin z}{\cos z}$
cotangente: $\cot z = \frac{\cos z}{\sin z}$
secante: $\sec z = \frac{1}{\cos z}$
cosecante: $\csc z = \frac{1}{\sin z}$
arcoseno: $\mbox{asin} z = i\cdot\ln\left(-iz\pm\sqrt{1-z^2}\right)+2k\pi\ k\in\mathbb{Z}$
arcocoseno: $\mbox{acos} z = \mp\ i\cdot\ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)+2k\pi\ k\in\mathbb{Z}$
arcotangente: $\mbox{atan} z = \frac{i}{2}\ln\frac{i+z}{i-z}$
seno iperbolico: $\sinh z = \frac{1}{2}(e^{z}-e^{-z})$
coseno iperbolico: $\cosh z = \frac{1}{2}(e^{z}+e^{-z})$
tangente iperbolica: $\tanh z = \frac{\sinh z}{\cosh z}$
cotangente iperbolica: $\coth z = \frac{\cosh z}{\sinh z}$
secante iperbolica: $\mbox{sech} z = \frac{1}{\cosh z}$
cosecante iperbolica: $\mbox{csch} z = \frac{1}{\sinh z}$
settore seno iperbolico: $\mbox{asinh} z = \ln\left(z+\sqrt{z^2+1}\right)$
settore coseno iperbolico: $\mbox{acosh} z = \ln\left(z+\sqrt{z^2-1}\right)$
settore tangente iperbolica: $\mbox{atanh} z = \frac{1}{2}\ln\frac{1+z}{1-z}$