Seno (matematica)

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Dato un triangolo rettangolo, il seno di uno dei due angoli interni adiacenti all'ipotenusa è definito come il rapporto tra le lunghezze del cateto opposto all'angolo e dell'ipotenusa.

Più in generale, il seno di un angolo α, espresso in gradi o radianti, è una quantità che dipende solo da α, costruita usando la circonferenza unitaria.

Definendo come sen(x) il valore del seno nell'angolo x, si ottiene la funzione seno, una funzione trigonometrica di fondamentale importanza nell'analisi matematica.

Indice

1 Definizione
2 Funzione seno
3 Seno e coseno
4 Proprietà analitiche della funzione seno
5 Definizioni correlate
6 Storia e origine del nome

[modifica] Definizione

Nel triangolo rosso in figura, il seno di x è dato da

$\mbox{sen}(x) = \frac {\overline{DC}}{\overline{OD}}$

Più in generale, si definisce il seno di un angolo x (espresso in gradi o radianti) a partire dalla circonferenza goniometrica, ovvero dalla circonferenza di raggio unitario nel piano cartesiano. Presa la semiretta uscente dall'origine che forma un angolo x con l'asse delle ascisse come in figura, il seno dell'angolo è quindi definito come il valore della coordinata y del punto di intersezione tra la semiretta e la circonferenza (in figura, è la lunghezza del segmento CD).

La seguente tabella elenca i principali valori notevoli della funzione seno:

X in radianti	0	$\frac \pi 6$	$\frac \pi 4$	$\frac \pi 3$	$\frac \pi 2$	$π$	$\frac {3\pi} 2$	$2π$
X in gradi	0	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
sin(x)	0	$\frac 1 2$	$\frac {\sqrt 2} 2$	$\frac {\sqrt 3} 2$	1	0	-1	0

In alcuni libri il seno di x è indicato con la notazione anglofona $s i n (x)$ .

[modifica] Funzione seno

La funzione seno è definita associando ad x il seno dell'angolo x (rappresentato in radianti), ed è indicata con $sen(x)$ . Poiché x e x + 2π definiscono lo stesso angolo, la funzione seno è una funzione periodica di periodo 2π (2π è l'angolo giro).

Rappresentazione grafica della funzione seno

[modifica] Seno e coseno

Tra seno e coseno esiste la relazione fondamentale:

sen 2 x + cos 2 x = 1

che è conseguenza del teorema di Pitagora. Infatti nel triangolo OCD nella figura in alto il coseno di x è definito come

$\cos(x) = \frac {\overline{OC}}{\overline{OD}}.$

D'altra parte il teorema di Pitagora applicato al triangolo OCD fornisce la relazione

${\ \overline{DC}}^2 + {\ \overline{OC}}^2 = {\ \overline{OD}}^2$

e quindi

$\mbox{sen}^2x + \cos^2x = \left(\frac {\overline{DC}}{\overline{OD}}\right)^2 + \left(\frac {\ \overline{OC}}{\ \overline{OD}}\right)^2 = \frac{{\overline{DC}}^2 + {\overline{OC}}^2}{\overline{OD}^2} = 1.$

[modifica] Proprietà analitiche della funzione seno

La funzione seno (blu) e la sua approssimazione data dal polinomio di Taylor di 7° grado (rosa).

La derivata della funzione seno è la funzione coseno: abbiamo infatti

sen' x = cos x .

La derivata seconda è invece

sen'' x = - sen x .

La funzione seno è una funzione analitica, la cui espansione in serie di Taylor è

$\mbox{sen} x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!}.$

In analisi matematica questa uguaglianza è spesso usata per definire il seno. La stessa serie definisce il seno come funzione olomorfa su tutto il piano complesso.

[modifica] Definizioni correlate

Il reciproco del seno (definito dove il seno è diverso da zero) è la cosecante

$\csc x =\frac 1{\sin x}$

La funzione seno, ristretta all'intervallo $[ - π / 2,π / 2]$ è iniettiva e quindi ha una inversa, chiamata arcoseno (indicato con $arcsin$ o $arcsen$ o a volte con l'equivoca espressione $sin - 1$ ). Per definizione si ha quindi:

$x = \arcsin{y} \Longleftrightarrow y = \sin{x}, \quad -\frac{\pi}{2}\leq x \leq \frac{\pi}{2}, \quad -1\leq y \leq 1$

[modifica] Storia e origine del nome

Il concetto di seno fu introdotto dal matematico e astronomo indiano Aryabhata I (476 - 550), nel 499.

Il nome seno risale quindi alla lingua sanscrita.

Il seno è per definizione la metà di una corda, cioè un segmento che unisce due punti (detti estremi) di una circonferenza. La parola sanscrita per metà corda è jya-ardha, a volte sostituito con ardha-jya e abbreviato in jya (corda). Questo termine fu importato nella lingua araba come jiba, un termine senza significato prima di allora ma che rifletteva la pronuncia fonetica del nome jya. Secondo le regole della lingua araba, questo nome venne scritto con le due consonanti jb, senza vocali. Successivamente, quando i traduttori occidentali attinsero alle fonti arabe, interpretarono la parola jb come jaib, il cui significato era baia. Infine, l'italiano Gherardo da Cremona (1114 - 1187) tradusse la parola in latino come sinus, il cui significato era appunto baia.

Le origini di questo nome mostrano come la trigonometria abbia viaggiato dalla lontana India, attraverso il mondo arabo, fino all'europa occidentale. In Italia il seno di un angolo viene indicato con sen(x), mentre convenzionalmente si usa la forma sin(x).

Trigonometria
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