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Funzione digamma - Wikipedia

Funzione digamma

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

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In matematica, per funzione digamma si intende la funzione speciale definita come derivata logaritmica della funzione gamma:

$\psi_0(x) := \frac{d}{dx} \ln{\Gamma(x)}= \frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$ .

La funzione digamma talora viene anche denotata con $\,\Psi(x)\,$ e talora anche $\,\psi^0(x)\,$ . Essa è collegata ai numeri armonici dalla uguaglianza

$\,\psi_0(n) = H_{n-1}-\gamma\,$

dove $\,H_{n-1}\,$ denota il numero armonico n−1 e γ è la ben nota costante di Eulero - Mascheroni.Tale relazione si dimostra dalla definizione alternativa di Gauss della funzione gamma

$\Gamma\left(s\right)=\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n!n^s}{s\left(s+1\right)\left(s+2\right)...\left(s+n\right)}$

da cui

$\psi\left(s\right)=\frac{d}{dx}\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\ln n! + s \ln n - \ln \left(s+1\right)-\ln\left(s+2\right)-...-\ln\left(s+n\right)\right)$

$\psi\left(s\right)=\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\ln n - \ln s -\ln \left(s+1\right)-\ln\left(s+2\right)-...\ln\left(s+n\right)\right)$

$\psi\left(s\right)=-\gamma + H_{s-1}$

[modifica] Voci correlate

[modifica] Collegamenti esterni

Digamma function in MathWorld

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../f/u/n/Funzione_digamma.html"

Categorie: Stub matematica | Funzioni speciali

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