Identità di Brahmagupta
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In matematica, l'identità di Brahmagupta, detta anche identità di Fibonacci, afferma che il prodotto di due numeri, ognuno dei quali è la somma di due quadrati di numeri naturali, si può esprimere come somma di quadrati (ed in due modi distinti). In altre parole, l'insieme delle somme di due quadrati è chiuso rispetto alla moltiplicazione. In particolare:
Ad esempio,
Questa identità è utilizzata nella dimostrazione del teorema di Fermat sulle somme di due quadrati. L'identità è valida in qualunque anello commutativo, ma è particolarmente utile nell'insieme dei numeri interi. Si può notare l'analogia con il prodotto di numeri complessi. Infatti essa è equivalente alla seguente identità:
che esprime il fatto che il valore assoluto del prodotto di due numeri complessi è uguale al prodotto dei loro valori assoluti.
[modifica] Storia
Quest'identità è stata scoperta dal matematico e astronomo indiano Brahmagupta (598-668). Fu successivamente tradotta in arabo e in persiano, quindi in latino da Leonardo Pisano, meglio noto come Fibonacci (1170-1250). Essa viene infatti citata nel suo Liber quadratorum nel 1225. È tuttavia possibile che l'identità fosse già nota a Diofanto nel III secolo.
[modifica] Identità correlate
Vi è un'interessante generalizzazione dell'identità:
L'identità dei quattro quadrati di Eulero è un'identità analoga con quattro quadrati anziché due. Inoltre, vi è un'identità con otto quadrati, derivata dagli ottonioni, ma non ha implicazioni particolarmente interessanti per i numeri interi perché ogni numero naturale è somma di quattro quadrati (vedi Teorema dei quattro quadrati). Essa è correlata alla periodicità di Bott.
