Quadrato perfetto

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In matematica un quadrato perfetto o numero quadrato è un numero intero che può essere espresso come il quadrato di un altro numero intero, ovvero un numero la cui radice quadrata principale è anch'essa un numero intero. Ad esempio, 9 è un quadrato perfetto in quanto può essere scritto come 3 × 3.

Talora da questi numeri si esclude lo zero, cioè per quadrato perfetto si intende un intero positivo che è il quadrato di un altro intero positivo.

Indice 1 Esempi 2 Proprietà 3 Quadrati perfetti razionali 4 Voci correlate 5 Note

[modifica] Esempi

I primi 50 quadrati perfetti^[1] sono:

[modifica] Proprietà

Un numero m è un quadrato perfetto se e solo se è possibile disporre m punti a formare un quadrato, per questo l'elevamento alla seconda potenza è chiamato anche elevamento al quadrato.

1
4
9
16
25

La formula dell'n-esimo quadrato perfetto è n².

Si osserva inoltre che la successione delle differenze fra due quadrati perfetti consecutivi è la successione dei numeri dispari positivi:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, ..., 2n - 1 ,2n + 1 , ...

L'n-esimo quadrato perfetto è perciò equivalente alla somma dei primi n numeri dispari, come si può vedere dalle figure sopra, dove un quadrato viene ottenuto dal precedente aggiungendo un numero dispari di punti. Ad esempio:

5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

L'n-esimo quadrato perfetto può essere calcolato dai precedenti due nel seguente modo:

n² = 2 × (n-1)² - (n-2)² + 2

Ad esempio:

6² = 2×5² - 4² + 2 = 2×25 - 16 + 2 = 50 - 16 + 2 = 36

Un quadrato perfetto equivale anche alla somma di due numeri triangolari consecutivi. La somma di due numeri quadrati consecutivi è un numero quadrato centrato. Ogni numero quadrato dispari è anche un numero ottagonale centrato.

Il teorema dei quattro quadrati dice che ogni intero positivo può essere scritto come somma di 4 quadrati perfetti o meno. 3 quadrati perfetti non sono sufficienti per i numeri nella forma 4^m(8h + 7). Un intero positivo può essere scritto come somma di due quadrati se e solo se la sua fattorizzazione non contiene potenze dispari di numeri primi nella forma 4k+3. Questo risultato è generalizzato nel problema di Waring.

Un intero positivo che non ha come divisore nessun quadrato perfetto ad eccezione di 1 si chiama libero da quadrati.

Poiché il prodotto di due numeri negativi è positivo, così come quella di due numeri positivi, nessun numero quadrato è negativo. Ciò ha conseguenze importanti. Ne deriva, in particolare, che non si possa estrarre la radice quadrata di un numero all'interno dei numeri reali. Questo lascia una lacuna nell'insieme dei reali che i matematici hanno riempito creando i numeri immaginari, a cominciare da i, che è per convenzione la radice quadrata di -1.

L'elevamento a quadrato è utile in statistica nella determinazione della deviazione standard di un campione dalla sua media. Per ogni dato viene fatta la differenza con la media ed il risultato è elevato al quadrato. La media della serie di numeri trovata (ognuno dei quali è positivo o nullo) è la varianza, e la sua radice quadrata è la deviazione standard — in finanza, la volatilità.

Un modo per trovare il quadrato di un numero n è quello di prendere due numeri che abbiano n per media, moltiplicarli fra loro e sommare il quadrato dello scostamento dalla media. Ad esempio:

21² = 20 × 22 + 1² = 441

Questo funziona come conseguenza dell'identità:

(x-y)(x+y)=x²–y²

conosciuta come differenza di quadrati.

[modifica] Quadrati perfetti razionali

La definizione di quadrato perfetto può essere estesa all'ambito dei numeri razionali. Si introduce così il concetto di quadrato perfetto razionale, cioè un numero razionale non negativo esprimibile come frazione che in forma ridotta ha come numeratore e come denominatore due quadrati perfetti, il secondo dei quali diverso da 0.

Per esempio 4/9 = 2/3 × 2/3.

I quadrati perfetti razionali sono i soli numeri razionali non negativi la cui radice quadratica principale è anch'essa un numero razionale (non negativo); le radici quadrate di tutti gli altri numeri razionali sono numeri irrazionali, cioè non si possono esprimere come frazioni.

[modifica] Voci correlate

• Numero triangolare
• Numero poligonale
• Numero quadrato triangolare
• Identità dei quattro quadrati di Eulero
• Numero automorfo

[modifica] Note

1. ↑ sequenza A000290 nell'OEIS