Left loop
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Indice |
[modifica] Definizione
Un left-loop è una struttura algebrica che consiste di un insieme non vuoto L dodato di un'operazione binaria
tale che:
- esiste un elemento 1L, detto neutro, tale che
per ogni 
; - l'equazione
ha un unica soluzione 
.
[modifica] Costruzione di left-loop
[modifica] Sezione di un gruppo
Definizione.
Siano G un gruppo ed H un suo sottogruppo. Una sezione di G relativamente ad H è un'applicazione
,
dove G / H è la famiglia delle classi laterali sinistre di G modulo H, tale che:
- σ(G / H) è un insieme di rappresentanti di classi laterali sinistre;
- σ(H) = 1G.
Inoltre l'immagine L: = σ(G / H) della sezione prende il nome di trasversale (sinistro) di G / H.
Teorema. Siano G un gruppo, H un sottogruppo di G e σ una sezione di G / H, allora L: = σ(G / H) è un left loop rispetto l'operazione
Dimostrazione. L'identità 1G sta in L poiché esso è un trasversale di G / H, dunque basta far vedere che l'equazione sinistra
ha un unica soluzione in L.
L'elemento σ(a − 1bH) è una soluzione di (1), poiché
.
Supponiamo che
per qualche 
, allora
