Struttura algebrica
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Una struttura algebrica è un insieme S chiamato insieme sostegno munito di una o più operazioni che possono essere nullarie, unarie, binarie, ... e che sono caratterizzate dall'avere determinate proprietà. Nella pratica della matematica (e in particolare nell'algebra, nella combinatorica e nella geometria) e in alcune sue applicazioni (fisica, chimica, informatica, ...) si utilizzano svariate strutture algebriche. Risulta quindi opportuno studiare le strutture algebriche con sistematicità, classificarne le specie e chiarire le relazioni che le collegano.
In linea generale un insieme sostegno può essere munito di diversi sistemi di operazioni e per individuare una struttura algebrica senza incorrere in possibili ambiguità, vanno specificate tutte le sue operazioni. In vari casi però talune operazioni si possono ritenere sottintese. Per alcune strutture di genere definito e di uso comune in taluni contesti tutte le operazioni si possono considerare sottintese e di una è sufficiente esplicitare solo alcune delle operazioni.
[modifica] Un elenco di specie di strutture algebriche
- magma
- quasigruppo
- loop (algebra)
- left loop
- semigruppo
- monoide
- gruppo
- gruppoide
- reticolo
- semireticolo
- semianello
- pseudoanello
- anello
- dominio d'integrità
- corpo
- campo
- algebra di Kleene
- modulo (struttura)
- spazio vettoriale
- spazio affine
- algebra su campo, richiamata anche con algebra (struttura)
- algebra graduata
- algebra di Lie
- algebra di Clifford
- bialgebra
- algebra di Hopf
[modifica] Sottostrutture, morfismi e composizioni
Con sottostruttura si intende un sottoinsieme di una struttura algebrica chiuso rispetto alle operazioni della struttura. Con le operazioni indotte, una sottostruttura può essere considerata una struttura algebrica a sé stante della stessa specie di quella di partenza (o di una sua sottospecie particolare).
Ad ogni specie di struttura algebrica sono associate particolari funzioni, gli omomorfismi, che preservano le operazioni delle strutture.
Due strutture della stessa specie possono essere composte per dare una struttura più complessa della stessa specie: lo studio di queste composizioni, che tipicamente hanno come sostegno il prodotto cartesiano dei sostegni delle strutture sottoposte a composizione, costituisce il primo passo per la classificazione delle strutture di una specie.
Le proprietà generali delle strutture algebriche collegate ai loro omomorfismi sono studiate come caso particolare nella teoria delle categorie.
[modifica] Voci correlate
- segnatura (algebra universale)
- struttura relazionale
