Modello di Black-Scholes-Merton

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Economia finanziaria
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Il modello di Black-Scholes-Merton, spesso semplicemente detto di Black-Scholes, è un modello dell'andamento nel tempo del prezzo di strumenti finanziari, in particolare delle azioni. La formula di Black e Scholes è una formula matematica per il prezzo di non arbitraggio di un'opzione call o put di tipo europeo, che può essere derivata a partire dalle ipotesi del modello; lo stesso può dirsi per la formula di Black, per la valutazione di opzioni su futures. L'equazione alla base della formula è stata originariamente derivata da Fischer Black e Myron Scholes, in un lavoro del 1973, sulla base di precedenti ricerche di Robert Merton e Paul Samuelson. L'intuizione fondamentale del modello di Black e Scholes è che un titolo derivato è implicitamente prezzato se il sottostante è scambiato sul mercato. La formula di Black e Scholes è largamente applicata nei mercati finanziari. Merton e Scholes hanno ricevuto nel 1997 il Premio della Banca Centrale di Svezia per le scienze economiche in memoria di Alfred Nobel (Premio Nobel per l'economia) per il loro lavoro (Black morì nel 1995).

Poiché la relazione fra derivato e titolo sottostante non è lineare, non è nemmeno invertibile e non consente di prevedere gli effetti delle operazioni su derivati sull'andamento dei titoli sottostanti, che condizionano e riflettono l'economia reale.

Indice

1 Ipotesi del modello
2 Derivazione dell'equazione di Black-Scholes
3 Bibliografia
- 3.1 Contributi storici
- 3.2 Manualistica
4 Voci correlate

[modifica] Ipotesi del modello

Il prezzo del sottostante segue un moto browniano geometrico (si veda anche oltre);
È consentita la vendita allo scoperto del sottostante, come dello strumento derivato;
Non sono ammesse opportunità d'arbitraggio non rischioso;
Il sottostante e lo strumento derivato sono scambiati sul mercato in tempo continuo;
Non sussistono costi di transazione, tassazione, né frizioni di altri tipo nel mercato;
Vige la perfettà divisibilità di tutte le attività finanziarie (è possibile scambiare frazioni arbitrariamente piccole di ogni titolo sul mercato);
Il tasso d'interesse privo di rischio $\ r$ è costante, e uguale per tutte le scadenze.

[modifica] Derivazione dell'equazione di Black-Scholes

Si consideri uno strumento derivato il cui prezzo è denotato da $\ f(S_{t},t)$ , dove $\ S_{t}$ è il prezzo del sottostante; obiettivo dell'analisi è determinare le condizioni che devono essere soddisfatte da $\ f(\cdot)$ , sotto l'ipotesi di assenza di opportunità d'arbitraggio. Si ipotizza che il sottostante segua un processo di moto browniano geometrico, descritto tramite l'equazione differenziale stocastica:

$\ dS=\mu Sdt + \sigma S dW_{t}$

L'equazione costituisce propriamente il modello di Black-Scholes-Merton per il prezzo di un'attività finanziaria.

Si costruisce quindi un portafoglio fittizio:

$\ \pi=f-\frac{\partial f}{\partial S}S$

Si osservi che $\ \partial f/\partial S$ altro non è che la Delta dello strumento derivato. Applicando il Lemma di Itô, si determina l'equazione differenziale stocastica che $\ \pi$ deve soddisfare:

$\ d\pi= df - \frac{\partial f}{\partial S}dS = \left(\frac{\partial f}{\partial S}\mu S + \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial S^{2}}\right)dt + \frac{\partial f}{\partial S}\sigma S dW_{t} - \frac{\partial f}{\partial S}\mu Sdt - \frac{\partial f}{\partial S}\sigma SdW_{t}$

A questo punto, si impone che il portafoglio $\ \pi$ sia privo di rischio su un intervallo di tempo infinitesimo; sotto l'ipotesi di assenza di opportunità di arbitraggio, ciò equivale a imporre:

$\ d\pi=r\pi dt= r\left(f - \frac{\partial f}{\partial S}S\right)dt$

Eguagliando le due relazioni così ottenute, si ottiene l'equazione di Black-Scholes:

$\ rS\frac{\partial f}{\partial S} + \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^{2}S^{2}\frac{\partial^{2}f}{\partial S^{2}}-rf=0$

Si tratta di un'equazione alle derivate parziali parabolica; la relazione sopra dovrà essere soddisfatta, in assenza di opportunità d'arbitraggio, dal prezzo di un qualsiasi strumento derivato.

La definizione di condizioni al contorno alternative consente di caratterizzare strumenti derivati alternativi. La soluzione dell'equazione di Black-Scholes può essere ottenuta tramite il metodo della separazione delle variabili (utilizzato da Black e Scholes nel loro lavoro del 1973), oppure sfruttando la formula di Feynman-Kac, che consente di esprimere la soluzione come un valore atteso, aprendo così la via a soluzioni numeriche, ottenute tramite simulazione Monte Carlo.

[modifica] Bibliografia

[modifica] Contributi storici

Black, F. e Scholes, M. (1973), The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy 81, 637-654;
Merton, R. (1973), Theory of Rational Option Pricing, Bell Journal of Economics and Management Science 4(1), 141-183.

[modifica] Manualistica

Hull, J.C. (2000), Options, Futures and Other Derivatives, Prentice-Hall, ISBN 0-13-02444-8; il testo introduttivo alla teoria degli strumenti derivati di riferimento, di livello universitario pre-dottorato (in inglese);
Hull, J.C. (2003), Opzioni, Futures e Altri Derivati, Il Sole 24Ore Libri, (edizione italiana del volume).