Ordinamento tra numeri reali

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Quando si parla di ordinamento dei numeri reali, si intendono tutte le relazioni di confronto che si possono stabilire tra essi; il metodo più semplice per effettuare questa operazione è considerare i numeri reali attraverso le troncate. Utilizzando le troncate si agisce in pratica tra numeri in forma decimale, anche se caso per caso possono cambiare, agendo sull'indice.

[modifica] Uguaglianza fra numeri in forma decimale

Dati due numeri reali a e b:

$a=b \Longleftrightarrow \forall {n} \in \mathbb{N} \; \left [ a \right ]_n - \left [ b \right ]_n \le 10^{-n}$

Non è difficile dedurre che tale criterio vale per entrambe le due diverse condizioni sotto le quali due serie esprimono numeri eguali:

uguali per ogni singola cifra
due rappresentazioni, l’una 0-periodica e l’altra 9-periodica dello stesso decimale finito (vedi doppia rappresentazione periodica dei decimali finiti)

Un altra importante conseguenza di questa definizione è il fatto che essa ci permetta di verificare come il criterio di eguaglianza fra i numeri reali goda delle tre proprietà fondamentali delle relazioni d’equivalenza che avevamo viste rispettate anche per il campo dei razionali e dei naturali. Infatti l'uguaglianza tra reali possiede:

La proprietà riflessiva, cioè dato un numero reale r, r=r
La proprietà simmetrica, cioè se, dati due reali a e b, a=b, allora avremo anche che b=a
La proprietà transitiva, che afferma, dati tre numeri reali p,q,r, se p=q e q=r, allora p=r

[modifica] Disguaglianza fra numeri in forma decimale

Per stabilire se due numeri reali a e b sono diversi si utilizza il seguente principio:

$a \ne \ b \Longleftrightarrow \exists \ \tilde{n} \in \mathbb{N} \; : \left [ a \right ]_\tilde{n} - \left [ b \right ]_\tilde{n} > \ 10^{-n}$

In realtà si può formulare il criterio in un secondo modo osservando che se la differenza fra le due troncate a n cifre è strettamente maggiore di : $10 - n$ , e cioè di un’unità sull’ultima cifra, ciò vuol dire che vale almeno due unità, e cioè: $2\cdot 10^{-n}$ . Il criterio può dunque essere enunciato come segue:

$a \ne \ b \Longleftrightarrow \exists \ \tilde{n} \in \mathbb{N} \; : \left [ a \right ]_\tilde{n} - \left [ b \right ]_\tilde{n} \ge \ 2\cdot 10^{-n}$

[modifica] Ordinamento fra numeri in forma decimale

Consideriamo due numeri reali, x e y : adesso vediamo quali devono essere le caratteristiche delle loro troncate affinché sussistano tra loro relazioni di maggiorazione o minorazione (stretta o no):

se
- $x=y \quad \qquad \quad\qquad \qquad$ o
- $\forall {n} \in \mathbb{N} \; \left [ x \right ]_n \le \ \left [ y \right ]_n$
$y > \ x \quad \qquad\qquad \quad$ se $\qquad \quad\qquad x \ne \ y \quad$ e $\qquad \qquad \quad x \le \ y$