Paradosso del compleanno
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In teoria della probabilità, il paradosso del compleanno (o problema del compleanno) afferma che la probabilità che due persone in un gruppo compiano gli anni lo stesso giorno è largamente superiore a quanto potrebbe dire l'intuito: già infatti in un gruppo di 23 persone la probabilità è circa del 51%; con 30 persone essa supera il 70%, fino ad arrivare all'evento certo per gruppi di 366 persone o più (per il principio dei cassetti).
Per effettuare il calcolo, si ricorre alla formula per la probabilità degli eventi indipendenti: per rendere più semplice il calcolo si assume che gli anni siano tutti di 365 giorni e che i compleanni siano equiprobabili, anche se ciò non è esatto ([1]). Aggiungere il giorno bisestile peggiora leggermente la probabilità, ma in compenso il fatto che i compleanni non siano equiprobabili la alza.
Il modo più semplice per calcolare la probabilità P(p) che ci siano due persone appartenenti ad un gruppo di p che compiano gli anni lo stesso giorno è calcolare dapprima la probabilità P1(p) che ciò non accada. Il ragionamento è questo: data una qualunque persona del gruppo (indipendentemente dalla data del suo compleanno), vi sono 364 casi su 365 in cui il compleanno di una seconda persona avviene in un giorno diverso; se si considera una terza persona, ci sono 363 casi su 365 in cui compie gli anni in un giorno diverso dalle prime due persone e via dicendo. Esprimendo in formule quanto sopra, la probabilità che tutti i compleanni cadano in date diverse è:
e dunque la probabilità del suo evento complementare, cioè che esistano due compleanni uguali, è
Questo paradosso ha importanti ricadute nella crittografia e nel dimensionamento del blocco da cifrare. In particolare nell'ambito della crittografia si utilizza il paradosso del compleanno per indicare che le funzioni hash crittografiche abbiano la proprietà di "resistenza forte alle collisioni".
