Paradosso di San Pietroburgo

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Indice

1 Il paradosso
2 Soluzioni del paradosso
3 Ulteriori discussioni
4 Note
- 4.1 Bibliografia
5 Collegamenti esterni

Nella teoria della probabilità e nella teoria delle decisioni, il paradosso di San Pietroburgo descrive un particolare gioco d'azzardo basato su una variabile casuale con valore atteso infinito, cioè con una vincita media di valore infinito. Ciononostante, ragionevolmente, si considera adeguata solo una minima somma, da pagare per partecipare al gioco.

Il paradosso di SanPietroburgo è la classica situazione in cui l'applicazione diretta della teoria delle decisioni (che tiene conto solo del guadagno atteso) suggerisce una linea di condotta che nessuna persona ragionevole si sentirebbe di adottare. Il paradosso si risolve raffinando il modello di decisione e prendendo in considerazione il concetto di utilità marginale e il fatto che le risorse dei partecipanti sono limitate (non infinite).

Il paradosso prende il nome dalla presentazione del problema da parte di Daniel Bernoulli, nel 1738 in the Commentaries of the Imperial Academy of Science of Saint Petersburg. Comunque il problema fu inventato dal cugino di Daniel, Nicolas Bernoulli, che per primo lo enunciò in una lettera a Pierre Raymond de Montmort fin dal 9 Settembre 1713. [1]

[modifica] Il paradosso

In un ipotetico gioco d'azzardo, derivato dalla scommessa testa o croce sul lancio di una moneta, si paga una quota di ingresso fissa, diciamo A, per partecipare ad una fase del gioco. Ciascuna fase consiste nel lanciare ripetutamente una moneta (non truccata) finché non esce Croce, che dà luogo alla vincita. La vincita dipende dal numero di lanci: se esce Croce al primo lancio, si vince 1 (uno); se esce Testa, si raddoppia ad ogni lancio successivo.
In breve, si paga A e si vince 2^k−1, se la moneta è stata lanciata k volte quando compare Croce per la prima volta.

Poi si riprende da capo con una nuova fase del gioco. (Nella formulazione originale, questo gioco fu attribuito ad un ipotetico casinò di San Pietroburgo, da cui è derivato il nome del paradosso).

Alla fine dei lanci si è dunque certi di incassare un premio, ma quanto si è disposti a pagare per partecipare al gioco?

La probabilità che la prima Croce esca al lancio k-esimo è:

$p_k=\operatorname{Pr}(\mbox{Testa al primo lancio})\cdot \operatorname{Pr}(\mbox{Testa al secondo lancio})\cdots\operatorname{Pr}(\mbox{Croce al }k\mbox{-esimo lancio})$

$=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdots\frac{1}{2}$

$=\frac{1}{2^k}.$

Quindi si ha: probabiltà 1/2 di vincere 1; probabiltà 1/4 di vincere 2; probabilità 1/8 di vincere 4 ... e così via. Il valore atteso della vincita è dunque:

$E=\frac{1}{2}\cdot 1+\frac{1}{4}\cdot 2 + \frac{1}{8}\cdot 4 + \frac{1}{16}\cdot 8 + \cdots$

$=\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots$

$=\sum_{k=1}^\infty {1 \over 2}=\infty.$

La somma diverge all'infinito: cioè in media ci si aspetta di vincere una somma infinita da questo gioco. Quindi, in accordo con la teoria tradizionale del valore atteso, ci si può permettere di pagare qualunque cifra A per partecipare.
Infatti anche pagando un miliardo per volta, alla lunga, dovrà capitare la volta (con probabilià invero bassissima) di una vincita così strepitosa da ripagare abbondantemente tutte le altre quote investite per ottenere vincite insignificanti.

In pratica però, nessuna persona ragionevole è disposta a pagare più di qualche unità per partecipare a questo gioco: ecco appunto il paradosso, detto di San Pietroburgo.
Il rifiuto intuitivo a investire cifre importanti nel gioco è ben sostenuto dalla simulazione descritta nel grafico seguente. Ripetendo 20'000 volte la serie di lanci del gioco, tipicamente si ottengono all'inizio vincite mediamente basse (qualche unità). Successivamente la media si alza, in corrispondenza di qualche serie fortunata, per poi diminuire leggermente fino al prossimo colpo fortunato. L'andamento complessivo è senza dubbio crescente, e tenderà matematicamente all'infinito dopo una serie infinita di giocate ma, nelle 20'000 giocate della simulazione, la media delle vincite è arrivata appena al valore di 8!

Il grafico compendia il paradosso del gioco: l'andamento generale della media delle vincite totali mostra di tendere ad un aumento senza limiti, ma la lentezza della crescita, che tende a diventare ancor più lenta al crescere del numero delle prove, indica che sarebbe necessario un numero spaventosamente alto di giocate per raggiungere valori anche modestamente alti.

[modifica] Soluzioni del paradosso

Dal punto di vista matematico, non sorgono difficoltà dalla situazione prospettata nel gioco. Il risultato di vincita media con valore atteso infinito è calcolato correttamente e il contrasto con l'intuito comune è una caratteristica ricorrente dei comportamenti paradossali dell'infinito. In altre parole, è perfettamente coerente accettare la possibilità (infinitesima) di una vincita infinita, tale da bilanciare qualunque somma pagata nelle (infinite) volte in cui la vincita risulta insignificante.

Viceversa, per gli studiosi di scienze sociali, e di economia in particolare, questo "paradosso" ha costituito un potente stimolo per costruire una teoria delle aspettative e per introdurre i concetti di utilità marginale e di peso soggettivamente attribuito alle probabilità.

[modifica] Teoria della Utilità attesa

Gli economisti usano questo paradosso per mettere in luce una varietà di argomenti in economia e nella teoria delle decisioni. La soluzione classica del paradosso richiede l'introduzione esplicità del concetto di utilità attesa e di diminuzione dell'utilità marginale del denaro.

L'idea della diminuzione dell'utilità marginale del denaro fu già una intuizione di Bernoulli. Secondo le sue parole:

"La determinazione del valore di un oggetto deve essere basata non sul suo prezzo, ma piuttosto sulla utilità che può procurare ... Non c'è dubbio che un guadagno di mille ducati ha più valore per un povero che per un ricco, nonostante entrambi guadagnino la stessa quantità."

Già qualche anno prima che Daniel Bernoulli pubblicasse questo argomento, un altro matematico svizzero, Gabriel Cramer, aveva introdotto parzialmente la stessa idea scrivendo, nel 1728, a Nicholas Bernoulli, sempre a proposito del gioco di San Pietroburgo[2] :

"I matematici stimano il denaro in proporzione alla sua quantità, mentre un uomo di bun senso lo stima in proporzione all'uso che può farne."

Utilizzando una opportuna funzione di utilità, ad esempio quella logaritmica proposta da Bernoulli

u(x)=ln(x), utilità proporzionale al logaritmo del valore guadagnato,

oppure quella di Cramer, con utilità proporzionale alla radice quadrata del valore guadagnato, si ottengono utilità attese non più infinite, ma ragionevolmente basse. Nel caso di utilità logaritmica il valore utile atteso dalla vincita diventa infatti 2.

Tuttavia la soluzione proposta da Cramer e da Bernoulli non è ancora del tutto soddisfacente. Infatti si può sempre immaginare un gioco di San Pietroburgo con vincite che aumentano molto velocemente col numero di lanci, in modo che l'utilità logaritmica attesa torni ad essere infinita.

Per risolvere questo nuovo paradosso, chiamato talvolta "super paradosso di San Pietroburgo", bisogna prendere in considerazione giochi di San Pietroburgo con valore atteso limitato, oppure considerare funzioni di utilità che presentano un valore massimo limitato,

come ad esempio potrebbe essere:

u (x) = 1 - e - x

Recentemente, la teoria dell'utilità attesa è stata estesa per arrivare a molteplici modelli di decisioni comportamentali. In alcune di queste nuove teorie, come ad esempio nella teoria della apettativa cumulata, il paradosso di San Pietroburgo ritorna di attualità e può essere superato solo imponendo un limite alle vincite.

[modifica] Peso attribuito alle probabilità

Lo stesso Nicolas Bernoulli propose un'idea alternativa per risolvere il paradosso. Fece la congettura che una persona normale tenda a trascurare automaticamente gli eventi improbabili[3]. Siccome nel gioco di San Pietroburgo solo eventi molto improbabili offrono le alte vincite che assicurano il valore atteso tendente all'infinito, ciò dovrebbe risolvere il paradosso.

L'idea di pesare le probabiltà rispuntò molto più tardi, nel lavoro sulla teoria delle aspettative di Daniel Kahneman e Amos Tversky in Econometrica del 1979. Ma i loro esperimenti dimostrarono che, nettamente al contrario, la gente tende a sopravvalutare gli eventi con bassa probabilità. Così, oggi la soluzione proposta da Nicolas Bernoulli non è più considerata soddisfacente.

[modifica] Gioco di San Pietroburgo con vincita limitata

L'enunciato classico del gioco di San Pietroburgo assume implicitamente che il banco del casinò abbia risorse infinite. Tale assunzione è stata spesso criticata come irrealistica, in particolare per spiegare la reazione di una persona comune, che intuitivamente non accetta l'idea di poter scommettere grosse cifre in questo gioco.

In realtà le risorse di un casinò reale (o di qualunque altro potenziale "banco" per questo gioco) sono limitate e, cosa più importante, si vede che mentre il premio massimo cresce molto rapidamente, con andamento esponenziale, il valore medio del premio cresce molto, molto lentamente, con andamento logaritmico. Ne consegue che il valore atteso da questo gioco, anche ipotizzando un banco con le più grandi risorse concepibili, risulta piuttosto modesto.

Infatti ipotizzando che il casinò possa pagare non più di W, l'enunciato del gioco deve prevedere che dopo L estrazioni consecutive di Testa per cui $2 L = W$ , viene pagato il premio W, ma non si continua con l'estrazione (L+1) e il gioco ricomincia, ripartendo da 1. In questo caso il valore atteso diventa:

$E =\sum_{k=1}^{L+1} p_k 2^{k-1} =\sum_{k=1}^{L+1}{1 \over 2}={L+1 \over 2},$

In pratica il valore atteso del premio è quindi proporzionale al logaritmo in base 2 del premio massimo. La tabella seguente mostra i valori attesi dei premi in funzione del valore massimo del premio pagabile da un eventuale banco:

Tipo di Banco	Premio massimo	N° max di Testa	Valore atteso di vincita
Bambini	8	3	2
Gioco tra amici	64	6	3.5
Milionario	1'050'000	20	10.50
Miliardario	1'075'000'000	30	15.50
Fantastiliardario	10¹⁰⁰	333	166.50

Con fantastiliardario si è indicata una ipotetica persona che possa disporre di una quantità di denaro (10¹⁰⁰) molto superiore alla quantità di atomi che si pensa possano essere contenuti nell'Universo osservabile. Si deve pensare che sia materialmente impossibile che qualcuno abbia fisicamente tanto denaro. Quindi si può concludere che in nessun caso ci si possa aspettare un premio medio superiore a 170.

Una persona media potrebbe ancora non trovare appetibile il gioco, se dovesse pagare una quota di ingresso comparabile col premio atteso esposto in tabella. Tuttavia la discrepanza tra l'intuito e il calcolo teorico del valore atteso è molto meno drammatica che nel caso iniziale.

[modifica] Ulteriori discussioni

Il paradosso di San Pietroburgo e la teoria dell'utilità marginale sono stati molto discussi in passato. Per un contributo interessante (ma non sempre assonante) da parte di un filosofo, vedere (Martin, 2004), nella Stanford Encyclopedia of Phylosophy.

[modifica] Note

[modifica] Bibliografia

Questa pagina è stata costruita traducendo liberamente la corrispondente voce in lingua inglese. Per la bibliografia si rimanda alla pagina originale ed alle citazioni in essa riportate

[modifica] Collegamenti esterni

http://www.mathematik.com/Petersburg/Petersburg.html Simulazione Online del lancio di monete nel gioco di San Pietroburgo

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../p/a/r/Paradosso_di_San_Pietroburgo_2bd7.html"

Categoria: Paradossi