Passeggiata aleatoria

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Indice

1 Caso monodimensionale
2 Caso bidimensionale
3 Caso tridimensionale
4 Voci correlate
5 Bibliografia
6 Collegamenti esterni

[modifica] Caso monodimensionale

In una passeggiata aleatoria monodimensionale si studia il moto di una particella puntiforme vincolata a muoversi lungo una retta nelle due direzioni consentite. Ad ogni movimento essa si sposta (a caso) di un passo a destra (con una probabilità fissata p) o a sinistra con una probabilità 1-p, ed ogni passo è di lunghezza uguale e indipendente dagli altri. Ci proponiamo di calcolare con quale probabilità dopo N movimenti la particella tornerà (ammesso che torni!) nel punto di partenza. Introduciamo la seguente variabile aleatoria $X (N)$ che mi fornisce il numero di passi a sinistra compiuti dopo $N$ movimenti; essa in particolare modellizza il numero di teste uscite dopo $N$ lanci di una moneta opportunamente truccata. Ovviamente questa è una variabile aleatoria discreta con distribuzione binomiale. Notiamo inoltre che l'evento "tornare nell'origine" equivale a compiere su $2 N$ passi totali esattamente $N$ passi a sinistra; quindi la probabilità che sto cercando equivale a

$\,P\{X=N\}\,$

con $X$ binomiale di parametri $n=2N\quad k=N \quad p$ quindi

$P\{X=N\} = \frac{(2N)!}{N!(2N-N)!} p^N(1-p)^N = {2N \choose N} (p-p^2)^N$

Ad esempio, se ho pari possibilità che la particella vada a destra o a sinistra ad ogni passo (p=1/2), la probabilità di ritorno all'origine dopo 2N passi sarà di

$P\{X=N\} = {2N \choose N} \left(\frac{1}{2}\right )^{2N} \approx \frac{1}{\sqrt{N \pi}}$

dove abbiamo applicato l'approssimazione di Stirling per N sufficientemente grande,

$N! \sim \sqrt{2 \pi N} \; \left(\frac{N}{e}\right)^{N}$ .

Ora ricordando che il valore atteso di una variabile aleatoria è dato da

$E[X] = \sum_{n=0}^{\infty}nP(n)$

otteniamo che il numero medio di ritorni all'origine della particella, detta P la probabilità di un singolo ritorno, è dato dalla serie geometrica

$\mu=\sum_{n=0}^{\infty}nP^n(1-P)\approx \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n\pi}} \rightarrow +\infty$

da cui, utilizzando la relazione $\mu=\frac{1}{1-P}-1$ , desumiamo che la probabilità della particella di tornare prima o poi all'origine è tendente a 1.

Quindi possiamo concludere che una particella con uguali probabilità di movimento a destra e sinistra lasciata libera di camminare casualmente all'infinito con grande probabilità torna infinite volte al punto da cui è partita.

[modifica] Caso bidimensionale

In una passeggiata aleatoria bidimensionale si studia il moto di una particella vincolata a muoversi sul piano spostandosi casualmente ad ogni passo a destra o a sinistra con probabilità 1/2, verso l'alto o verso il basso con probabilità p=1/2. In pratica ad ogni passo può compiere un movimento lungo una delle quattro diagonali con probabilità 1/4.Ci si chiede con che probabilità la particella tornerà al punto di partenza. Questo caso può essere studiato come la composizione di due camminate aleatorie monodimensionali; anche qui una particella è nell'origine dopo 2N passi solo se ne ha compiuti esattamente N a sinistra e N in alto (conseguentemente altrettanti a destra e in basso). Dette allora $X (n) =$ {n passi a sinistra su N passi} e c $Y (n) =$ {n passi in alto su N passi} due variabili binomiali come nel paragrafo precedente avremo:

$P\left\{X=N,Y=N \right\}=P\left\{X=N\right\}P\left\{Y=N \right\}$

dato che le variabili casuali X e Y sono stocasticamente indipendenti. Quindi riprendendo i calcoli del paragrafo precedente otterremo:

$P\{X=N,Y=N\}= \left( {2N \choose N} \left(\frac{1}{2}\right )^{2N} \right )^2$

e, detta come prima P la probabilità di un singolo ritorno al punto di partenza,ottengo che il numero medio di ritorni quando N tende all'infinito è:

$\mu=\sum_{n=0}^{\infty}nP^n(1-P)\approx \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n\pi} \rightarrow +\infty$

da cui, utilizzando la relazione $\mu=\frac{1}{1-P}-1$ , desumiamo che la probabilità della particella di tornare prima o poi all'origine è tendente a 1. Quindi anche nel caso bidimensionale una particella libera di camminare casualmente con uguale probabilità nelle quattro direzioni tornerà infinite volte al punto di partenza.

[modifica] Caso tridimensionale

In una passeggiata aleatoria tridimensionale si studia il moto di una particella vincolata a muoversi nello spazio spostandosi casualmente ad ogni passo a destra o a sinistra con probabilità 1/2, verso l'alto o verso il basso con probabilità p=1/2, in su o in giù con probabilità 1/2. In pratica ad ogni passo può compiere un movimento lungo una delle otto diagonali con probabilità 1/8.Ci si chiede con che probabilità la particella tornerà al punto di partenza. È chiaro che posso studiare analogamente al caso bidimensionale questo caso considerandolo come una composizione di tre passeggiate aletorie monodimensionali indipendenti. Come nel paragrafo precedente, dopo aver introdotto la variabile aleatoria Z che ritorna il numero di passi "in su" ottengo:

$P\{X=N,Y=N,Z=N\}= \left( {2N \choose N} \left(\frac{1}{2}\right )^{2N} \right )^3$

approssimabile con Stirling a $\frac{1}{(n\pi)^\frac{3}{2}}$

Questa volta, contrariamente ai casi delle 2 e 3 dimensioni, abbiamo

$\mu=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n\pi)^\frac{3}{2}}\approx 0.315$

da cui, utilizzando la relazione $\mu=\frac{1}{1-P}-1$ , desumiamo che la probabilità della particella di tornare prima o poi all'origine è di circa p=0.239 (probabilità piuttosto bassa!).

[modifica] Voci correlate

[modifica] Bibliografia

P. Baldi (1998): Calcolo delle probabilità e statistica, McGraw-Hill Italia, Milano
E. Parzen (1999): Stochastic Processes, Holden-Day
M. P. Rogantin (2004): Introduzione alla statistica, C.L.U.T., Torino