Serie geometrica

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La serie geometrica di ragione x, dove x è un arbitrario numero reale, è definita come $\sum_{k=0}^{\infty}x^k$ , o alternativamente come
$\{s_n : n \in \N \}$ , dove è $s_n = \sum_{k=0}^{n}x^k = 1 + x + x^ 2 + ... + x ^ n$ .

La somma parziale n-esima di una serie geometrica è dunque la somma per k che va da zero a n di x^k.

Questo tipo di serie ricorre con una particolare frequenza nell'analisi degli algoritmi; in molti casi il loro valore può essere calcolato direttamente con le formule che vengono presentate in questo articolo. Una delle espressioni più comuni è proprio la somma parziale della nota serie geometrica.

Indice

1 Formule
2 Comportamento della serie
- 2.1 Stima della somma
3 Serie geometrica troncata
- 3.1 Stima di per i = 1
4 Esempi
5 Voci correlate

[modifica] Formule

Possiamo trovare una formula più semplice per questa somma moltiplicando entrambi i membri della precedente equazione per $(1-x)\,$ e vedendo che:

$(1-x) \sum_{k=0}^{n} x^k = 1-x^{n+1}\,$

dal momento che tutti gli altri termini si cancellano. Riarrangiando i termini si ottiene una formula più pratica per la serie geometrica:

$\sum_{k=0}^{n} x^k = \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$

Nota: Se la somma non parte da 0, ma da un altro termine m, allora

$\sum_{k=m}^n x^k=\frac{x^m-x^{n+1}}{1-x}$

Derivando la somma rispetto a x si possono trovare fomule per somme del tipo

$\sum_{k=0}^n k^s x^k$

Ad esempio:

$\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^nx^k = \sum_{k=0}^nkx^{k-1}= \frac{1-x^{n+1}}{(1-x)^2}-\frac{(n+1)x^n}{1-x}$

Un modo semplicemente algebrico per arrivare alla somma da 0 ad n consiste nel partire da:

s n = 1 + x + x 2 + ... + x n

quindi sottrarre 1 e dividere tutto per x ambo i membri

$\frac{s_{n}-1}{x}=1+x+x^{2}+...+x^{n-1}=s_{n-1}$ poiche`

s n - 1 = s n - x n

allora possiamo scrivere

$\frac{s_{n}-1}{x}=s_{n}-x^{n}$ facendo tutti i passaggi algebrici, da quest'ultima equazione, otteniamo:

s n (1 - x) = 1 - x n + 1

con un ultimo passaggio $s_{n}=\frac{1-x^{n+1}}{1-x}$ è la somma che stavamo cercando.

[modifica] Comportamento della serie

La serie ha il seguente carattere:

convergente quando $|x|\,<\,1$
divergente per $x\,\ge \,1$ perché si ha $s_n = 1 + x + x^2 + ... x ^ n \, \ge \, n x + 1$ e per il teorema del confronto diverge.
indeterminata per $x\,<\,-1$ perché si ha $s_n = \frac{x^{n+1}-1}{x-1}$ e $\lim_{n\to +\infty}x^n$ non esiste (alcuni testi riportano, per questo caso, il carattere divergente, intendendo che $s_n\to\infty$ o, in altri termini, che $|s_n|\to +\infty$ .
indeterminata nel caso rimanente $x = - 1$ , poiché la funzione somma oscilla tra 1 e 0.

Se dunque $|x|\,<\,1$ la somma della serie esiste e vale

$\sum_{k=0}^{\infty}x^k = \lim_{n \to \infty}\sum_{k = 0}^{n}{x}^k = \lim_{n \to \infty} {{1 - x ^ {n+1}} \over {1 - x}} = \frac{1}{1-x}$ .

Quest'ultima formula è valida in ogni algebra di Banach con la condizione che la norma di x sia minore di uno, e anche nel campo dei numeri p-adici se |x|_p < 1. In particolare è valida nel campo dei numeri complessi con l'usuale definizione di valore assoluto.

Come nel caso delle somme finite, possiamo derivare la serie per trovare le formule di somme analoghe. Ad esempio:

$\frac{d}{dx}\sum_{k=0}^\infty x^k = \sum_{k=0}^\infty kx^{k-1}= \frac{1}{(1-x)^2}$

Questa formula naturalmente è valida solo per |x| < 1.

[modifica] Stima della somma

Per effettuare la stima della somma geometrica infinita in modo generale spezziamo la serie come segue

$\sum_{i=0}^n x^i + \sum_{i=n+1}^{\infty} x^i$

ricordando che la serie geometrica ha somma pari a $\frac {1}{1-x}$ otteniamo che

$\frac {1}{1-x} - x^{n+1}\sum_{i=0}^{\infty} x^i = \frac {1-x^{n+1}}{1-x}.$

[modifica] Serie geometrica troncata

Se si pone che $f_n(x) = \sum_{i=0}^n x^i$ si ha che:

$f_n(1) = \lim_{x=1} \frac {1-x^{n+1}}{1-x} = n + 1$

$f (n)$ viene chiamata serie geometrica troncata. La serie geometrica troncata è alla base delle stime di somme molto complesse. Utilizzando l'operatore $x D$ (dove per $D$ si intende la derivata) si ha che

$xD f_n(x) = xD( \sum_{i = 0}^n x^ i )= x \sum_{i = 0}^n i x^{i-1} = \sum_{i = 1 }^n i x^i$

riconducensi alla serie geometrica troncata.

[modifica] Stima di $\sum_{k=0}^n k^i$ per i = 1

Si consideri la somma delle potenze di grado 1:

$\sum_{i=1}^n i = xD(f_n(X)) = \frac {n x ^ {n+2} - (n+1) x ^ {n+1} + x } {(1-x)^2}$

[modifica] Esempi

Si vuole valutare la seguente sommatoria:

$\sum_{k=1}^n k 2^k$ .

Consideriamo la funzione

$t_n(x) = \sum_{k=0}^n x ^ k$

e osserviamo che la sua derivata è data da

$t_n'(x) = \sum_{k=1}^n k x ^{k-1}$

questo significa che

$2t_n'(2) = \sum_{k=1}^n k 2 ^ k$

e quindi il nostro problema si riduce a valutare la derivata di $t n (x)$ in 2. Poiché $t_n(x) = {{x^{n+1} - 1}\over{x-1}} \ \forall x \not= 1$ ottenendo