Preordine
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Nella matematica, ed in particolare nella teoria degli ordini, un preordine è un tipo di relazione binaria strettamente correlato con le relazioni d'ordine (ed i corrispondenti insiemi parzialmente ordinati). Molte definizioni teoriche legate alle relazioni d'ordine possono essere generalizzate per i preordini.
[modifica] Definizione formale
Sia P un insieme e ≤ una relazione binaria su P. ≤ è detta preordine se è riflessiva e transitiva, cioè se per ogni a, b, c in P, valgono le proprietà:
- a ≤ a (riflessività)
- se a ≤ b e b ≤ c allora a ≤ c (transitività)
Se un preordine è anche antisimmetrico (cioè se a ≤ b e b ≤ a implica a = b) allora è una relazione d'ordine o ordine parziale.
A partire da ogni preordine è possibile costruire un ordine parziale identificando i punti "uguali". Formalmente, si definisce una relazione d'equivalenza ~ su X tale che a ~ b se e solo se a ≤ b e b ≤ a. Allora l'insieme quoziente X / ~, cioè l'insieme di tutte le classi d'equivalenza definite da ~, può facilmente essere ordinato definendo [x] ≤ [y] se e solo se x ≤ y. Si può verificare facilmente che questo porta ad un insieme parzialmente ordinato.
[modifica] Voci correlate
- teoria degli ordini
- relazione d'ordine parziale
- relazione d'ordine totale
