Principio di azione e reazione esteso

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Quella descritta sotto è la forma estesa del noto principio di azione e reazione a cui viene anche dato il nome di terza legge di Newton. Esso è applicabile a tutte le forze riscontrate in natura e nella tecnica, e costituisce un assioma fondamentale della meccanica.

[modifica] Enunciato Formale

Sia $S\,\!$ un sistema meccanico composto dai punti $x\in\mathbb{R}^3$ che interagiscono coll'ambiente attraverso forze e momenti.
Sia $K\,\!$ un sub-sistema di $S\,\!$
Sia $H\,\!$ un sub-sistema di $K\,\!$ e $H'\,\!$ il suo complementare ( $\Leftrightarrow H' = K$ \ $H\,\!$ ).

Allora vale:

$\int_{H} d\vec{F}^i \ = \ -\int_{H'} d\vec{F'}^i ,$

$\int_{H} \vec{\xi} \times d\vec{F}^i + d\vec{M}^i \ = \ -\int_{H'} \vec{\xi} \times d\vec{F'}^i + d\vec{M'}^i$

dove:

$d\vec{F}^i(x)$ e $d\vec{M}^i(x)$ significano in questo contesto la distribuzione di forze e di momenti interni a $K\,\!$ che descrivono l'influenza di $H'\,\!$ su $H\,\!$ .
$d\vec{F'}^i(x)$ e $d\vec{M'}^i(x)$ sono le distribuzioni di forze e di momenti interni a $K\,\!$ che descrivono l'influenza di $H\,\!$ su $H'\,\!$ .
$\vec{\xi} \times d\vec{F}^i(x)$ sono invece i momenti indotti.

[modifica] Il significato

In parole, quanto detto sopra significa che le forze e i momenti che $H\,\!$ esercita su $H'\,\!$ sono antiparalleli alle forze e i momenti che $H'\,\!$ esercita su $H\,\!$ .

È chiaro, dunque, che la terza legge di Newton diventa un caso speciale, dove i sistemi sono dei punti di massa $x_1 , x_2\,\!$ e i momenti vengono considerati nulli.

Quindi, in definitiva, ad ogni azione di un corpo A su un altro corpo B corrisponde una reazione uguale e contraria del corpo B sul corpo A.

[modifica] Esempi

Facciamo un esempio per fare chiarezza: prendiamo come sistema $S\,\!$ l'universo, come sub-sistema $K\,\!$ il sistema sole-terra.

Come sub-sistemi di $K\,\!$ , $H\,\!$ e $H'\,\!$ , scegliamo rispettivamente la terra e la luna.

Deve allora valere che la forza totale esercitata dalla terra sulla luna deve essere uguale ma di senso opposto alla forza totale esercitata dalla luna sulla terra, come viene effettivamente confermato dalla legge di gravitazione universale.

[modifica] Conclusione

Questo tipo di ragionamenti stanno alla base dei metodi per la rivelazione delle azioni interne ai corpi, e vengono quindi ampiamente utilizzati in meccanica statica ad esempio per il calcolo delle deformazioni.

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