Problema di Monty Hell
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- Questo non è il problema di Monty Hall.
Il problema di Monty Hell è un paradosso nella teoria della probabilità, che riguarda successioni infinite di azioni. Come descritto in un (EN) articolo nel gruppo usenet in lingua inglese rec.puzzles, il problema consiste nello scegliere tra due strategie alternative per conservare il proprio denaro mentre si passa un'eternità confinati nell'inferno. Le assunzioni del problema sono che ogni giorno si viene pagati 10$ in banconote da 1$, ma è necessario dare 1$ ogni giorno a Satana per pagare il riscaldamento. Non è possibile però gestire direttamente il nostro denaro, ma si deve scegliere la tecnica di uno di questi due banchieri:
- Monty mette tutte le banconote del giorno in un grande sacco, poi sceglie a caso con probabilità uniforme uno dei biglietti dal sacco (che può anche essere uno di quelli dei giorni precedenti) e lo consegna a Satana.
- Marilyn sceglie una banconota dal mazzetto delle dieci del giorno per darla a Satana, e poi mette le altre nove nel sacco.
Lo scopo è di massimizzare la ricchezza alla fine della punizione eterna, che avverrà in un ipotetico giorno ω (vedi numero transfinito), che sarà il primo successivo a tutti i giorni con un numero d'ordine finito.
A volte il testo afferma che Marilyn toglie nove banconote e ne mette solo una nel sacco, per rendere il paradosso ancora più controintuitivo. Qui, per semplicità, entrambi i banchieri tolgono la stessa quantità di denaro.
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[modifica] Il paradosso
Entrambe le soluzioni danno, all'apparenza, lo stesso risultato: dopo t giorni, sia Monty che Marylin avranno introdotto 9t dollari nel nostro sacco. Visto che t cresce senza limite in entrambi i casi, ciascuno di loro avrà introdotto, alla fine, un numero infinito di dollari.
Vi è però un'altra spiegazione più complessa che favorisce Marylin. Questa spiegazione dipende dall'assunto che il contenuto del sacco di Monty il giorno ω è un limite insiemistico del contenuto dei giorni precedenti, dove il limite insiemistico di una successione di insiemi A1, A2, ..., si definisce contenere un elemento x solo se esiste un numero N tale che x è presente in An per ogni 
. Dato che è possibile dimostrare che per ogni singola banconota x la probabilità che rimanga per sempre nel sacco è zero (si veda la dimostrazione sotto) e dato che il numero di banconote è numerabile, con probabilità 1 ogni banconota verrà prima o poi tolta dal sacco. Con l'assunto che il nostro patrimonio alla fine del mondo sia un insieme limite definito in tal modo, Monty lascerà quasi sempre (in termini matematici) senza alcuna banconota, e quindi conviene scegliere Marylin. Anche se ad ogni istante finito Monty e Marilyn hanno lo stesso numero di banconote nei loro sacchi.
Il paradosso è la contraddizione apparente tra queste due risposte ed è particolarmente arduo perché l'ovvia spiegazione non richiede matematica avanzata, e quindi rende la seconda risposta, oltre che controintuitiva, anche sospettosamente complessa.
[modifica] Attacchi alla seconda soluzione
Dato che la seconda soluzione è così controintuitiva, molte persone cercano di risolvere il paradosso cercando un errore in essa. Vengono qui di seguito descritti alcuni di tali approcci e viene spieganto perché non sono supportati dalla teoria degli insiemi e dalla teoria della probabilità moderne.
[modifica] Tutti noi moriremo, ma questo non significa che ci sarà un giorno in cui nessuno sarà vivo
Consideriamo la variante seguente del processo Monty, che elimina le probabilità: il giorno 1, l'elemento 1 viene messo nel sacco. Il giorno 2, l'elemento 2 viene messo nel sacco. In generale il giorno t, viene messo l'elemento t. A partire dal giorno 101, iniziamo anche a togliere elementi: il giorno 101 togliamo l'elemento 1, e in generale il giorno t+100 togliamo l'elemento t (oltre ad aggiungere l'elemento t+100). Visto che a partire dal giorno 101 ci sono ovviamente sempre 100 elementi nel sacco, sembrerebbe che al giorno ω ci debba essere un insieme di 100 elementi.
Mentre è vero che il limite per t tendente a infinito del numero di elementi nel sacco è 100, non è vero che il limite per t tendente a infinito dell'insieme di elementi nel sacco sia un insieme di 100 elementi. Questo si nota immediatamente dalla definizione del limite di una successione di insiemi; dato che nessun elemento rimane indefinitamente nel sacco, il limite è l'insieme vuoto.
Una variante simile nel processo Monty potrebbe essere mettere le banconote numerate da 10n-9 a 10n nel sacco il giorno n, e quindi rimuovere le banconote numerata n. Ogni banconota entra ed esce dal sacco in un istante definito, anche se il numero di banconote nel sacco cresce col tempo senza alcun limite, nessuna singola banconota rimane indefinitamente nel sacco.
La regola generale è che anche se ogni insieme in una successione gode di una certa proprietà, non ne consegue necessariamente che il limite (se esiste) abbia anch'esso tale proprietà. D'altra parte, anche nel processo Marylin accade la stessa cosa: il numero di banconote nel sacco in un giorno qualunque è finito, ma il numero di banconote alla fine del tempo non lo è.
Questa proprietà dei limiti insiemistici è apparentemente strana, ad ogni modo la definizione usata qui sopra è in effetti quella usata universamente in matematica. La ragione per cui è stata scelta tale definizione è che non c'è nessun'altra alternativa valida: se volessimo definire che il limite della successione di elementi nel sacco sia un certo particolare insieme di 100 elementi o un insieme potenzialmente infinito, come potremmo definire quali elementi vi siano in quel limite?
[modifica] Non si può moltiplicare una probabilità nulla per un numero infinito di elementi
Una seconda obiezione alla dimostrazione di guadagno finale nullo è che in realtà essa bara, perché dall'affermazione che per ogni banconota x la probabilità che essa rimanga nel sacco sia zero passa all'affermazione che la probabilità che un qualsiasi biglietto rimanga nel sacco sia anch'essa nulla. L'obiezione fa notare che, mentre potrebbe essere ragionevole sommare le probabilità zero di un numero finito di eventi improbabili e concludere che la loro unione ha anch'essa probabilità zero, in questo caso sommiamo un numero infinito di zeri, e il prodotto di zero per infinito non è definito.
Effettivamente esistono delle assiomatizzazioni della teoria della probabilità che non permettono di sommare un numero infinito di eventi; ma l'insieme usuale degli assiomi di probabilità dovuti a Kolmogorov comprende esplicitamente l'additività numerabile, che permette tali somme ammesso che l'insieme degli eventi sia numerabile. Pertanto, l'obiezione di cui sopra richiede come minimo di adottare un approccio non standard alla probabilità.
[modifica] E se Satana pagasse dai fondi ricavati per il riscaldamento?
La seconda soluzione assume che ogni banconota entra solo una volta nel sacco di Monty. Ma che cosa succede se la paga di 10$ arriva direttamente da Satana, e lui racimola i soldi per la paga riciclando i pagamenti per il riscaldamento? In questo caso, ogni banconota potrebbe entrare nel sacco infinitamente spesso e non è chiaro quali saranno i suoi contenuti al tempo ω. (In effetti, dipendendo la cosa su come Satana sceglie di riutilizzare le banconote e quando farlo, un insieme limite potrebbe anche non esistere nemmeno).
Questa risposta permette di aggirare una versione del paradosso, ma non lo risolve in generale. Se il problema annuncia esplicitamente che i fondi per il riscaldamento non possono mai venire riciclati - magari perché vengono immediatamente buttati nella fornace infernale - allora il paradosso rimane.
[modifica] Soluzione
La soluzione al paradosso consiste nell'osservare che i due argomenti contraddittori considerano dei limiti differenti. La risposta ovvia prende il limite del numero di banconote nel sacco; quella meno ovvia prima prende l'insieme limite degli insiemi delle banconote nel sacco, e poi conta i suoi elementi. È sorprendente, ma non inconsistente, che questi due conteggi diversi diano risposte differenti.
Qual è la risposta corretta? Dipende da come si interpreta il problema. Se ci concentriamo sul destino delle singole banconote, e siamo abituati al concetto di limite insiemistico, probabilmente calcoleremo quello per primo e concluderemo che Monty ci lascerà a mani vuote. Ciò ci lascia nell'imbarazzante situazione di dovere spiegare come abbiamo potuto avere una ricchezza sempre crescente, ma averla persa tutta alla fine, e non è l'assicurazione che tale risultato è coerente con la matematica moderna ci faccia sentire tanto meglio.
D'altra parte, se trattiamo le singole banconote come semplici segnaposto che rappresentano la nostra ricchezza totale, probabilmente prefereriremo il limite numerico, e concluderemo che Monty ci lascerà una ricchezza infinita. Ma allora saremo nella situazione ancora più imbarazzante di spiegare come siamo riusciti ad avere un sacco che contiene infinite banconote, ciascuna delle quali abbiamo in precedenza perso.
La discussione in rec.puzzles alla fine sembra favorire il risultato di avere una ricchezza nulla, ma il tema continua ad essere dibattuto. Vedi anche la pagina di discussione della wikipedia in inglese, en:Talk:Monty Hell problem.
[modifica] Appendice: Dimostrazione che ogni banconota verrà estratta dal sacco con probabilità 1
Ecco una dimostrazione che la probabilità che una banconota resti indefinitamente nel sacco è zero. Ricordate che se quando entrano in gioco quantità infinite, probabilità 0 non significa "impossibile" ma "infinitamente improbabile"...
Sia w il numero di banconote aggiunte ogni giorno, e si consideri una banconota inserita nel giorno t0, dove il primo giorno è numerato 1. La probabilità che sia ancora presente il giorno n, dato che lo era alla fine del giorno n - 1, è
dunque la probabilità che non sia rimossa al giorno t è
Se definiamo P la probabilità che la banconota non sia mai rimossa, abbiamo P≤P(t) per ogni t; se quindi riusciamo a dimostrare che il limite di P(t) per t tendente a infinito è 0, allora anche P deve essere 0.
Applicando la disuguaglianza
che vale per tutti gli x, otteniamo
La somma diverge, perché è una serie armonica. Ne consegue che
Quindi per una qualunque banconota specifica la probabilità che essa non sia mai rimossa tende a 0. Sia ora Ai l'evento che la banconota i non sia mai rimossa. Allora, l'evento che almeno una banconota non sia mai rimossa ha probabilità
![\Pr\left[\bigcup_{i=1}^{\infty} A_i\right].](../../../math/5/a/7/5a74da3a24a1787bd037dcfeadd31755.png)
Per la disuguaglianza di Boole, tale probabilità è al più
![\sum_{i=1}^{\infty} \Pr[A_i] = \sum_{i=1}^{\infty} 0 = 0.](../../../math/1/0/0/100e1b79739a31a85f8fb0356675706a.png)
il che termina la dimostrazione.
[modifica] Note storiche
Il problema è stato chiamato Monty Hell come gioco di parole sul Problema di Monty Hall, che però non ha nulla a che fare con questo. Nel problema, Marilyn si riferisce presumibilmente a Marilyn vos Savant, che fece conoscere il problema Monty Hall nella sua rubrica nel Parade Magazine.
