Serie armonica

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La serie armonica è la serie definita come $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ . Essa è monotona crescente, cioè la somma parziale dei termini da 1 a m continua a crescere al crescere di m, e il suo carattere è divergente: per un m sufficientemente grande, la somma parziale dei termini da 1 a m è superiore a ogni numero prefissato.

Il fatto che la serie diverga non è evidente a prima vista. Per una dimostrazione si può procedere così:

definendo $S N$ la somma parziale $1+\frac 1 2 + \frac 1 3 + ... +\frac 1 N$ si dimostra che per ogni $m$ si ha

$S_{2^m} \geq 1 + {m \over 2}$

usando il principio di induzione:

Per $m = 1$ si ha $S_2 = 1 + {1 \over 2}$ . Se consideriamo $m > 1$ , supponendo che sia vera $S_{2^{m-1}} \geq 1 + ( m - 1) {1 \over 2}$ si ottiene:

$S_{2^m} = S_{2^{m-1}} + {1 \over {2^{m-1}+1}} + {1 \over {2^{m-1}+2}} + ... + {1 \over {2^{m}}} \geq S_{2^{m - 1}} + 2 ^ {m - 1} {1 \over {2^m}} \geq 1 + (m-1) {1 \over 2}+ {1 \over 2} \geq 1 + m {1 \over 2} \square$ .

All'atto pratico, si sostituisce a ogni numero a denominatore la potenza di 2 immediatamente superiore, a meno che il numero non sia già una potenza di 2. Così a partire da

1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/8 + 1/9 + ... + 1/16 + ...

si ricava

1 + 1/2 + 1/4 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/8 + 1/16 + ... + 1/16 + ...

che è sicuramente minore della serie originaria, perché sono stati sostituiti alcuni termini con altri più piccoli. Ma, visto che si hanno 4-2=2 termini che valgono 1/4, 8-4=4 termini che valgono 1/8, 16-8=8 termini che valgono 1/16, ... la seconda somma è uguale a

1 + 1/2 + 2 (1/4) + 4 (1/8) + 8 (1/16) + ... = 1 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 + ...

che evidentemente cresce all'infinito.

[modifica] Serie armonica generalizzata

La serie armonica generalizzata si presenta nella forma:
$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^\alpha} = 1 + \frac{1}{2^\alpha} + \frac{1}{3^\alpha} + ... + \frac{1}{n^\alpha}+ ...$ con $\ \alpha \in \R$ .

Tale serie diverge per $\alpha \le 1$ e converge per $\ \alpha > 1$ .
Per dimostrare il carattere della serie armonica ci si rifà al primo criterio del confronto tra due serie.

Dimostrazione divergenza per $α < 1$
Poiché per $\ \alpha<1$ si ha la disuguaglianza $\ n^\alpha < n$ e quindi ${1 \over {n ^ \alpha}} > {1 \over n}$ possiamo concludere che la serie armonica generalizzata per $\ \alpha < 1$ è divergente, essendo maggiore della serie armonica che abbiamo visto essere divergente.

Dimostrazione convergenza per $α = 2$

$\sum_{n = 1}^\infty {1 \over {n^2}}$ serie armonica generalizzata con $α = 2$ .
$\sum_{n = 1}^\infty {1\over{n(n+1)}}$ serie di Mengoli.
Ma ${1 \over {(n+1)^2}} < {1 \over {n(n+1)}}\ \forall n \in \N$

Quindi la prima serie, privata del primo addendo 1, è minorante della serie di Mengoli che converge ad $1$ . Ne segue che la serie armonica generalizzata con $α = 2$ converge ad un numero reale minore di 2.

Dimostrazione convergenza per $α > 2$
Dato che ${1 \over n^\alpha} \leq {1 \over n^2} \ \ \forall \alpha > 2$ la serie armonica generalizzata con $α > 2$ converge in quanto minorante di quella per $α = 2$

Dimostrazione convergenza per $α > 1$
Utilizzando la formula del binomio generalizzato di Newton, si può ottenere la seguente disuguaglianza:
${{\alpha - 1 }\over {(n+1)^\alpha }} < {1 \over {n^{\alpha-1}}}-{1 \over {(n+1)^{\alpha-1}}}\ \ \ \ \ \ \forall n \in \N ,\ \alpha > 1$
dove il secondo membro è l'addendo di una serie che generalizza la serie di Mengoli e converge ancora ad 1 per ogni $α > 1$ .Quindi la serie armonica generalizzata per ogni $α > 1$ converge ad un numero reale minore di $α / (α - 1)$ .

[modifica] Serie armonica a segni alterni

Per approfondire, vedi la voce Serie di Mercator.

La serie armonica a segni alterni :
$\sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1}\over n}$ è convergente ma non è assolutamente convergente
Infatti per il criterio di Leibniz (cfr.una serie a segno alterno, infinitesima, e tale che la successione dei valori assoluti dei suoi termini sia decrescente converge)si vede che questa serie converge avendo termine che in modulo decresce e tende a zero. Mentre applicando il modulo si torna alla serie armonica che diverge.

Tuttavia se si sommano i termini nell'ordine "giusto" abbiamo che questa serie converge a $ln \left(2\right )$

Dimostrazione

Consideriamo una banale serie geometrica:

$1 - x + x^ 2 - x ^ 3 + x ^ 4 -... = \frac{1}{1+x}$

Quindi:

$\ \int 1 - x + x^ 2 - x ^ 3 + x ^ 4 -... \, dx = \int\frac{1}{1+x}\, dx$

Ossia

$\ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} -... = \int\frac{(1+x)^{\prime}}{1+x} = \int (ln \left(x+1\right ))^{\prime} \, dx = ln \left(x+1\right )$

E ponendo x=1:

$\ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} -... = ln \left(2\right)$

[modifica] Approssimazioni della Serie Armonica

La serie armonica diverge ma possiamo ricavare delle ottime approssimazioni della somma dei primi k termini che ci risparmiano il lavoro di somma. Abbiamo per esempio che:

$\sum_{n=1}^{k} \frac{1}{n}\sim\ln{k}$

Questa è formula ci fornisce un'approssimazione molto buona. Addirittura la differenza tra somma dei primi k termini e l'approssimazione tende a essere costante. In particolare tende alla costante di Eulero-Mascheroni definita come

$\gamma = \lim_{n \rightarrow \infty } \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} - \ln(n) \right)$