Prova del 9

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In aritmetica, la prova del 9 è un metodo alquanto semplice utilizzato per controllare l'esattezza di una moltiplicazione o divisione tra numeri.

Se la prova dà esito negativo, abbiamo sbagliato i calcoli ed occorre rivederli nella moltiplicazione, se dà esito positivo però non ci dà la certezza di avere in mano un risultato corretto: il nostro risultato è corretto a meno di un multiplo di 9.

La prova del nove si basa sulla congruenza $10^n \equiv 1 \pmod{9}$ .

Indice

1 Calcolo della prova del 9 per le moltiplicazioni
2 Calcolo della prova del 9 per le divisioni intere
3 Calcolo della prova del 9 per le divisioni con resto
4 Aritmetica modulare

[modifica] Calcolo della prova del 9 per le moltiplicazioni

Iniziamo con un esempio

1902 * 1964 = 3 735 528

3 735 528 è il risultato corretto? Verifichiamolo con la prova del 9.

Innanzitutto si traccia una croce o si divide in quattro un quadrato:

. .	. .
. .	. .

In alto a sinistra: si sommano ripetutamente le cifre del moltiplicando, il primo fattore, finché non resta un numero ad una sola cifra: 1902->1+9+0+2=12->1+2=3
In alto a destra: si applica lo stesso procedimento con il moltiplicatore, il secondo fattore: 1964->1+9+6+4=20->2+0=2
In basso a sinistra: si moltiplicano i 2 numeri appena ottenuti e posti in alto sulla croce. Le cifre del numero così ottenuto sono ripetutamente sommate come prima (6)
In basso a destra: mettiamo la somma delle cifre del numero che noi crediamo sia il risultato dell'operazione: 3735528->3+7+3+5+5+2+8=33->3+3=6

3	2
6	6

Quando, come in questo caso, i due numeri in basso sono uguali allora la prova ha esito positivo, altrimenti ha esito negativo.

Occorre evidenziare, comunque,

se la prova ha esito negativo allora la moltiplicazione è sicuramente errata
se ha esito positivo, il risultato trovato potrebbe differire dal risultato reale per un multiplo di 9. Infatti, se al risultato si sommasse o sottraesse 9 o un suo multiplo, il test sarebbe ancora superato!.

Riepilogando:

Somma delle cifre del moltiplicando	Somma delle cifre del moltiplicatore
Somma delle cifre del prodotto dei 2 numeri in alto	Somma delle cifre del risultato da verificare

[modifica] Calcolo della prova del 9 per le divisioni intere

Poiché

dividendo / divisore = quoziente
equivale a 
divisore * quoziente = dividendo

allora:

Somma delle cifre del divisore	Somma delle cifre del quoziente
Somma delle cifre del prodotto dei 2 numeri in alto	Somma delle cifre del dividendo

[modifica] Calcolo della prova del 9 per le divisioni con resto

Poiché

dividendo : divisore = quoziente + resto
equivale a
divisore * quoziente + resto = dividendo

allora:

Somma delle cifre del divisore	Somma delle cifre del quoziente
Somma le cifre del prodotto dei 2 numeri in alto + somma le cifre del resto	Somma delle cifre del dividendo

Ad esempio per:

1999 : 64 = 31 con resto 15

si ottiene:

64->6+4=10->1+0=1

31->3+1=4

1*4=4

15->1+5=6

4+6=10->1+0=1

1+9+9+9=28->2+8=10->1+0=1

[modifica] Aritmetica modulare

La prova del nove e' basata sull'aritmetica modulare.

Scriviamo il numero 375 come: $375 = 3 * 10 2 + 7 * 10 + 5$

Poiché $10^n \equiv 1 \pmod{9}$ , risulta che $375\equiv 3+7+5\equiv15\equiv1+5\equiv6 \pmod{9}$ .

Quando allora operiamo sui numeri che sono somma di cifre, stiamo operando nell'anello $Z 9$ .

Ad esempio, nella prova del nove usata per la moltiplicazione stiamo verificando che il resto di ab nella divisione con 9 sia uguale al resto di a moltiplicato per il resto di b.

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../p/r/o/Prova_del_9.html"

Categoria: Aritmetica