Quantizzazione del campo elettromagnetico

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La quantizzazione del campo elettromagnetico è, sotto alcuni apsetti, simile a quella dell'oscillatore armonico; essa è, tuttavia, più complicata, data la maggiore complessità delle equazioni che descrivono il campo.

Indice

1 Equazioni di Maxwell per il campo elettromagnetico
2 Alcune proprietà della trasformata di Fourier
3 Equazioni di Maxwell nello spazio reciproco
4 Quantizzazione del campo elettromagnetico
- 4.1 Commenti
5 Il fotone
6 Stato coerente
7 Note
8 Voci correlate

[modifica] Equazioni di Maxwell per il campo elettromagnetico

Presento qui, solo per comodità, le 4 equazioni di Maxwell, che permettono di trovare il campo elettromagnetico in ogni punto dello spazio, note le sorgenti.

$\nabla \cdot \vec E(\vec r, t) = \frac{1}{\epsilon_{0}} \rho (\vec r ,t)$

$\nabla \cdot \vec B(\vec r, t) = 0$

$\nabla \times \vec E(\vec r, t) = - \frac{\partial}{\partial t} \vec B(\vec r, t)$

$\nabla \times \vec B(\vec r, t) = - \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial}{\partial t} \vec E(\vec r, t) + \frac{1}{\epsilon_{0} c^{2}} \vec j(\vec r, t)$

Da queste equazioni segue che esiste un potenziale vettore $\vec A (\vec r, t)$ ed un potenziale scalare $V (\vec r, t)$ tali che:

$\vec B(\vec r, t) = \nabla \times \vec A(\vec r, t)$

$\vec E(\vec r, t) = - \frac{\partial}{\partial t} \vec A(\vec r, t) - \nabla V(\vec r, t)$

[modifica] Alcune proprietà della trasformata di Fourier

Prima di effettuare la quantizzazione del campo è opportuno passare nello spazio reciproco, tramite l'applicazione della trasformata di Fourier¹ alle equazioni di Maxwell.

A tal scopo elenco qui alcune proprietà della trasformata rispetto agli operatori differenziali, che seguono direttamente dalla definizione di trasformata di Fourier.

Sia $\mathcal F_{n}$ la trasformata di una funzione F scalare, allora:

$\nabla F \leftrightarrow i \vec k_{n} \mathcal F_{n}$

Se $\vec F$ è una funzione vettoriale si ha:

$\nabla \cdot \vec F \leftrightarrow i \vec k_{n} \cdot \mathcal F_{n}$

$\nabla \times \vec F \leftrightarrow i \vec k_{n} \times \mathcal F_{n}$

Vale la pena di ricordare che se $\vec F$ è un vettore allora anche $\mathcal F_{n}$ lo sarà: le componenti del vettore saranno, quindi le trasformate delle rispettive componenti del vettore $\vec F$ , per cui il prodotto scalare ed il prodotto vettoriale tra $\vec k_{n}$ e $\mathcal F_{n}$ sono definiti.

[modifica] Equazioni di Maxwell nello spazio reciproco

Il motivo dell'uso della trasformata di Fourier nel processo di quantizzazione del campo e.m. è che gli operatori vettoriali (divergenza e rotore), vengono trasformati in operatori algebrici, motlo più facili da maneggiare.

Le equazioni nello spazio reciproco, ricordando le proprietà del paragrafo precedente sono, quindi:

$i \vec k_{n} \cdot \mathcal E_{n} = \frac{1}{\epsilon_{0}} \rho_{n}$

$\vec k_{n} \cdot \mathcal B_{n} = 0$

$i \vec k_{n} \times \mathcal E_{n} = - \frac{\partial}{\partial t} \mathcal B_{n}$

$i \vec k_{n} \times \mathcal B_{n} = \frac{1}{c^{2}} \frac{\partial}{\partial t} \mathcal E_{n} + \frac{1}{\epsilon_{0} c^{2}} j_{n}$

Si possono commentare alcune conseguenze, prima di passare alla vera e propria quantizzazione.

Innanzitutto dalla seconda euqzione segue che $\mathcal B_{n}$ è ortogonale a $\vec k_{n}$ , è quindi utile eseguire la somposizione di $\mathcal E_{n}$ in una componente normale ed una parallela (a $\vec k_{n}$ ).

Dalla prima euqzione si vede che la componente parallela di $\mathcal E_{n}$ è legata alla densità di carica, quindi al campo creato istantaneamente dalle cariche al punto $\vec r$ .

Dalla terza equazione si vede che la componente normale di $\mathcal E_{n}$ è legata alla componente normale di $\mathcal B_{n}$ , inoltre dalla quarta equazione si ottiene che:

$\frac{\partial}{\partial t} \mathcal E_{n \bot} = i c^{2} \vec k_{n} \times \mathcal B_{n \bot} - \frac{1}{\epsilon_{0}} j_{n \bot}$

Introducendo anche la trasformata del potenziale vettore si ha:

$\mathcal B_{n \bot} = i \vec k_{n} \times \mathcal A_{n \bot}$

e dalla terza equazione si ottiene subito che:

$\mathcal E_{n \bot} = - \frac{\partial}{\partial t} \mathcal A_{n \bot}$

[modifica] Quantizzazione del campo elettromagnetico

Per poter effettuare la quantizzazione bisogna conoscere l'espressione dell'Hamiltoniana di un sistema.

Per il campo elettromagnetico classico essa vale:

$H = \frac{\epsilon_{0}}{2} \int \left[ \mid \vec{E}(\vec{r}, t) \mid^{2} + \mid c \vec{B}(\vec{r}, t) \mid^{2} \right] d^{3} \vec{r}$

e, passando allo spazio reciproco:

$H = \frac{\epsilon_{0}}{2 L^{3}} \sum_{n} \left[ \mid \mathcal{E}_{n} (t) \mid^{2} + \mid c \mathcal{B}_{n} (t) \mid^{2} \right]$

In particolare, come nel caso classico, si può dividere l'hamiltoniana in una componente normale ed una parallela², in particolare la parte normale³, vale:

$H_{\perp} = \frac{\epsilon_{0}}{2 L^{3}} \sum_{n} \left[ \mid \mathcal{E}_{\perp n} (t) \mid^{2} + \mid c \mathcal{B}_{\perp n} (t) \mid^{2} \right]$

Considerando la relazione tra frequenza e vettore d'onda:

$\omega_{n} = c \mid \vec{k}_{n} \mid$

e la relazione tra $\mathcal{B}_{n}$ ed $\mathcal{A}_{n}$ l'hamiltoniana può essere scritta anche nel seguente modo:

$H_{\perp} = \frac{\epsilon_{0}}{2 L^{3}} \sum_{n} \left[ \mid \mathcal{E}_{\perp n} (t) \mid^{2} + \mid \omega_{n} \mathcal{B}_{\perp n} (t) \mid^{2} \right]$

Questa hamiltoniana può essere paragonata a quella dell'oscillatore armonico e si identifica in essa se identifichiamo i seguenti termini:

$\mbox{pulsazione} \to \omega_{n}$

$\mbox{massa}\ m \to \frac{\epsilon_{0}}{L^{3}}$

$\mbox{posizione}\ \hat{x} \to \hat{\mathcal{A}}_{\perp n}$

$\mbox{impulso}\ \hat{p} \to -\frac{\epsilon_{0}}{L^{3}} \hat{\mathcal{E}}_{\perp n}$

Analogamente possono essere introdotti i due operatori $a$ ed $a +$ definiti nel seguente modo:

$a = \sqrt{\frac{\epsilon_{0}}{2 \hslash \omega_{n} L^{3}}} \left[ \omega_{n} \hat{\mathcal{A}}_{\perp n} + i \hat{\mathcal{E}}_{\perp n} \right]$

$a^{+} = \sqrt{\frac{\epsilon_{0}}{2 \hslash \omega_{n} L^{3}}} \left[ \omega_{n} \hat{\mathcal{A}}_{\perp n} - i \hat{\mathcal{E}}_{\perp n} \right]$

Si noti che in questa sezione i cappelli degli operatori sono stati mantenuti per chiarezza e per evitare confusione con le trasformate dei campi.

Gli operatori $a$ ed $a +$ operano solo sul modo di oscillazione n e, analogamente al caso dell'oscillatore, si fa l'ipotesi che:

$[a_{n}, a^{+}_{m}] = \delta_{mn}$

Si noti la differenza che esiste tra i due casi: nell'oscillatore esiste un solo modo di oscillazione, qui ne esistono n, gli operatori che agiscono su due modi differenti commutano⁴.

L'hamiltoniana del campo elettromagnetico si scrive, quindi:

$H_{\perp \; em} = \sum_{n} \hslash \omega_{n} \left( a^{+} a + {1 \over 2} \right)$

cioè come somma di n oscillatori armonici unidimensionali indipendenti, ognuno oscillante con pulsazione $ω n$ .

[modifica] Commenti

Si noti prima di tutto che, poiché nell'hamiltoniana compaiono solo le norme dei vettori $\mathcal{E}_{n}$ ed $\mathcal{A}_{n}$ , l'hamiltoniana può comportare dei termini complessi del tipo $e^{i \vec{k}_{n} \cdot \vec{r}}$ , i quali hanno norma unitaria, contrariamente al caso dell'oscillatore che comporta solo variabili reali.

Inoltre l'hamiltoniana quantizzata non dipende esplicitamente dal tempo, per cui l'hamiltoniana del modo di oscillazione n è stazionaria, anche se è destinata a descrivere uno stato oscillante nel tempo, così come gli stati propri dell'operatore sono stazionari nel tempo. Questo apparente paradosso si risolve con l'introduzione di un apposito stato, detto stato coerente.

Rimane da vedere quale sia l'espressione degli operatori $\hat{E}_{\perp}, \; \hat{A}_{\perp}$ e $\hat{B}_{\perp}$ , in funzione degli operatori dello spazio reciproco.

Qui sorge il problema delle fasi accennato in precedenza: noi disponiamo solo delle norme, per cui non abbiamo alcun mezzo di trovare le fasi.

Si può dimostrare, tuttavia che:

$\hat{E}_{n} = i \sum_{n} \mathcal{F}_{n} \left(a_{n} e^{i \vec{k}_{n} \cdot \vec{r}} - a^{+}_{n} e^{- i \vec{k}_{n} \cdot \vec{r}} \right) \vec{\epsilon}_{n}$

$\hat{A}_{n} = \sum_{n} \frac{\mathcal{F}_{n}}{\omega_{n}} \left(a_{n} e^{i \vec{k}_{n} \cdot \vec{r}} + a^{+}_{n} e^{- i \vec{k}_{n} \cdot \vec{r}}\right) \vec{\epsilon}_{n}$

$\hat{B}_{n} = i \sum_{n} \mathcal{F}_{n} \frac{\vec{k}_{n} \times \vec{\epsilon}_{n}}{\omega_{n}} \left(a_{n} e^{i \vec{k}_{n} \cdot \vec{r}} - a^{+}_{n} e^{- i \vec{k}_{n} \cdot \vec{r}}\right)$

Si noti che gli unici operatori nelle espressioni precedenti sono $a$ ed $a +$ , la quantità $\vec{r}$ è una variabile dello spazio reale; il vettore $\vec{\epsilon}_{n}$ è il vettore di polarizzazione del campo elettrico e la quantità $\mathcal{F}_{n}$ è detta campo di oscillazione del vuoto e vale:

$\mathcal{F}_{n} = \sqrt{\frac{\hslash \omega_{n}}{2 \epsilon_{0} L^{3}}}$

[modifica] Il fotone

Data la forma della hamiltoniana, restano validi, quindi, tutti i risultati che si sono trovati per l'oscillatore.

In particolare gli stati della hamiltoniana sono del tipo $\mid w_{1}, w_{2}, ..... \rangle$ con $w_{1}, \; w_{2},....$ interi positivi.

Questi stati vengono ottenuti a partire dallo stato vuoto o fondamentale $\mid 0_{1}, \; 0_{2}, \; ... \rangle$ tramite l'applicazione dell'operatore di creazione:

$\mid w_{1}, \; w_{2}, \; ... \rangle = \frac{(a_{1}^{+})^{w_{1}} (a_{2}^{+})^{w_{2}} \; ...}{\sqrt{w_{1}! w_{2}! \; ...}} \mid 0_{1}, \; 0_{2}, \; ... \rangle$

Poiché i quanti di energia del campo elettromagnetico vengono chiamati fotoni, allora il numero di occupazione del livello n viene identificato con il numero di fotoni del modo n⁵.

Si noti che, dato che non esiste alcun limite alla popolazione dei modi, queste particelle devono essere dei bosoni.

L'energia dello stato generico è data da:

$E = \sum_{n} \left( w_{n} + \frac{1}{2} \right) \hslash \omega_{n}$

La quale può essere vista come somma di due componenti:

$E_{fotone} = \sum_{n} w_{n} \hslash \omega_{n}$

$E_{vuoto} = \frac{1}{2} \sum_{n} \hslash \omega_{n}$

Poiché le frequenze quantizzate, in linea di principio sono infinite ci ritroviamo con un assurdo: avevamo introdotto la quantizzazione delle frequenze del campo proprio per evitare divergenze e troviamo una energia del vuoto che diverge.

Questo paradosso, in effetti solo apparente, viene risolto con la teoria della rinormalizzazione di Feynman.

[modifica] Stato coerente

Consideriamo, per semplicità, una cavità che autorizzi un solo modo di oscillazione, lo stato coerente del sistema è definito nel seguente modo:

$\mid \alpha \rangle = \sum_{m} e^{-{\mid \alpha \mid^{2} \over 2}} \frac{\alpha^{m}}{\sqrt{m!}} \mid m \rangle$

In questo stato si ha una probabilità $p m$ di trovare m fotoni nella cavità, data da:

$\langle m \mid \alpha \rangle = e^{- \mid \alpha \mid^{2}} \frac {\mid \alpha \mid^{2m}}{m!}$

In questa probabilità si riconosce la legge di Poisson: questa legge classica dà la probabilità di trovare m fotoni nella cavità, quando si sappia che il loro numero medio è $\mid \alpha \mid^{2}$ ⁶.

Lo stato $\mid \alpha \rangle$ è uno stato a norma unitaria:

$\sum_{m} p_{m} = e^{- \mid \alpha \mid^{2}} \sum_{m} \frac{\mid \alpha \mid^{2m}}{m!} = e^{- \mid \alpha \mid^{2}} e^{+ \mid \alpha \mid^{2}} = 1$

L'evoluzione di un tale stato nel tempo è la seguente; supponiamo che lo stato $\mid \alpha \rangle$ definito precedentemente sia lo stato a t=0, al tempo t generico si ha:

$\mid \alpha (t) \rangle = \sum_{m} e^{-{\mid \alpha \mid^{2} \over 2}} \frac{\alpha^{m}}{\sqrt{m!}} e^{- \frac{i E_{m} t}{\hslash}} \mid m \rangle = \sum_{m} e^{-{\mid \alpha \mid^{2} \over 2}} \frac{\alpha^{m}}{\sqrt{m!}} e^{- i \omega \left( m + \frac{1}{2} \right) t} \mid m \rangle$

che si può scrivere anche⁷:

$\mid \alpha (t) \rangle = e^{- \frac{i \omega t}{2}} \sum_{n} e^{- \frac{\mid \alpha e^{- i \omega t} \mid^{2}}{2}} \frac {\left( \alpha e^{- i \omega t} \right)^{m}}{\sqrt{m!}} \mid m \rangle$

Poiché ogni predizione su uno stato fisico è indipendente dalla fase che questo stato può avere, possiamo scrivere che:

$\mid \alpha (t) \rangle = \mid \alpha e^{- i \omega t} \rangle$

Cioè lo stato oscilla nel tempo.

Vediamo ancora una proprietà dello stato coerente, prima di calcolare il valore medio del campo elettrico su questo stato.

Si può dimostrare, infatti, che:

$a \mid \alpha \rangle = \alpha \mid \alpha \rangle \qquad \langle \alpha \mid a^{+} = \alpha^{*} \langle \alpha \mid$

Si noti che la seconda relazione è la coniugata della prima, per cui dimostriamo solo la prima espressione. Si ha:

$a \mid \alpha \rangle = \sum_{m = 0} e^{- \frac{\mid \alpha \mid^{2}}{2}} \frac{\alpha^{m}}{\sqrt{m!}} a \mid m \rangle = \sum_{m = 1} e^{- \frac{\mid \alpha \mid^{2}}{2}} \frac{\alpha^{m}}{\sqrt{(m - 1)!}} \mid m - 1 \rangle$

Si noti che la prima somma parte da m=0, mentre la seconda parte da m=1, in quanto l'applicazione dell'operatore $a$ allo stato vuoto dà risultato nullo.

Poniamo m-1=n si ottiene:

$\sum_{n = 0} e^{- \frac{\mid \alpha \mid^{2}}{2}} \frac{\alpha^{n+1}}{\sqrt{n!}} \mid n \rangle = \alpha \mid \alpha \rangle$

Il valore medio del campo elettrico sullo stato $\mid \alpha \rangle$ vale:

$i \mathcal{F} \langle \alpha \mid \left( a e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} - a^{+} e^{- i \vec{k} \cdot \vec{r}} \right ) \mid \alpha \rangle \vec{\epsilon_{n}}$

ed, usando le proprietà appena dimostrate si ottiene:

$\langle \vec{E}_{\perp} \rangle = i \mathcal{F} \left( \alpha e^{i \vec{k} \cdot \vec{r}} - \alpha^{*} e^{- i \vec{k} \cdot \vec{r}} \right) \vec{\epsilon_{n}}$

Supponendo $α$ reale ed introducendo la dipendenza temporale dello stato $\mid \alpha \rangle$ si ottiene per il valore medio del campo elettrico:

$\vec{E}_{\perp} = 2 \mathcal{F} \alpha \sin{\left( \vec{k} \cdot \vec{r} - \omega t \right)} \vec{\epsilon}_{n}$

[modifica] Note

¹ Per evitare problemi di convergenza le definizione di trasformata che si usa in questo paragrafo è leggermente differente dalla formulazione matematica, in quanto, si limita il volume di integrazione ad un cubo di lato L. Il vettore $\vec k$ , che si usa per fare la trasformazione risulta quantizzato e le componenti valgono:

$k_{nx} = n_{x} \frac{\pi}{L} \qquad \qquad k_{ny} = n_{y} \frac{\pi}{L} \qquad \qquad k_{nz} = n_{z} \frac{\pi}{L}$

otteniamo, quindi, un vettore quantizzato $k n$ di dimensioni $[L] - 1$ .

² Ovviamente l'hamiltoniana non è un vettore, per cui non può essere scomposta, ma si intende, qui, per parte perpendicolare, la parte dell'hamiltoniana formata dalla somma delle componenti perpendicolari dei campi, e, per parte parallela, la somma delle componenti parallele.

³ Si noti che quello che si vuole quantizzare è il campo che genera le onde elettromagnetiche.

La componente parallela (al vettore d'onda $\vec{k}_{n}$ ) è data dal campo statico, per cui non si considera durante la quantizzazione.

⁴ In effetti se si fa il paragone con un oscillatore armonico n - dimensionale l'analogia è quasi perfetta: in questo caso i livelli di energia non sono mai degeneri, perché le frequenze di oscillazione dei vari modi sono diverse, nell'oscillatore i livelli sono degeneri perché le frequenze di oscillazione dei vari modi sono identiche.

⁵ Con terminologia analoga a quella dell'oscillatore l'operatore $a$ viene chiamato operatore di distruzione, in quanto distrugge un fotone, mentre l'operatore $a +$ è chiamato operatore di creazione in quanto crea un fotone.

⁶ Si noti che il numero $α$ è, a priori, complesso, per questo si indicano sempre i moduli del numero nell'esponenziale, altrimenti si ha una quantità oscillante.

⁷ Si noti che $α$ e $α e - i ω t$ hanno lo stesso modulo.

[modifica] Voci correlate

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Categoria: Meccanica quantistica