Radicale (matematica)

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In matematica, la radice n-esima o radicale di un numero reale a, scritto come $\sqrt[n]{a}$ , è un numero reale b tale che bⁿ = a. Vedi radice quadrata per il caso dove n = 2.

Indice

1 Scrittura
2 Prime osservazioni
3 Operazioni fondamentali
4 Razionalizzazione

[modifica] Scrittura

$\textrm{Radice} = \sqrt [\textrm{indice\ del\ radicale}]\textrm{Radicando}$

Che corrisponde a:

$\textrm{Radice}^\textrm{indice\ del\ radicale} = \textrm{Radicando}$

Esempio:

$\sqrt[3]{8} = 2 \Leftrightarrow 2^3 = 8$

[modifica] Prime osservazioni

Si tenga presente che:
• se la radice ha indice pari, il radicando deve essere maggiore o uguale a zero.
• se la radice ha indice dispari il radicando può essere un numero reale qualsiasi.

Esempi, sono calcolabili i seguenti radicali:

$+ \sqrt[ ]{9} = 3; - \sqrt[ ]{25} = -5; \sqrt[3]{8} = 2; - \sqrt[4]{16} = -2; \sqrt[3]{-27} = -3;...$

Non hanno significato in campo reale:

$\sqrt[ ]{-9}; \sqrt[ ]{-25}; \sqrt[6]{-8}; \sqrt[4]{-16}; \sqrt[8]{-27};...$

[modifica] Operazioni fondamentali

Le operazioni con i radicali sono dati dalle seguenti formule:

$\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b},$
$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},$
$\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = a^{\frac{m}{n}},$
$\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[m\cdot n]{a}$
$(\sqrt[n]{a})^m=\sqrt[n]{a^m}$
$a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}$
$a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$
$\sqrt[n]{a^n} = a$
$\sqrt[2]{a\pm\sqrt{b}}=\sqrt[2]{(a+\sqrt{a^2-b})/2}\pm\sqrt[2]{(a-\sqrt{a^2-b})/2}$

dove a e b sono numeri positivi. Nell'ultima uguaglianza, è anche richiesto che $a 2 > b$ .

Per ogni numero complesso a diverso da zero, ci sono n diversi numeri complessi b tali che bⁿ = a, quindi il simbolo $\sqrt[n]{a}$ non può essere usato univocamente. Se a = 1, parliamo di radici n-esime dell'unità.

[modifica] Razionalizzazione

Nelle elaborazioni di espressioni e formule algebriche, è spesso utile manipolare i radicali usando le relazioni scritte sopra, senza tentare di calcolare il valore di ogni singolo elemento. Ad esempio, se a e b sono due numeri positivi distinti:

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}- \sqrt{b}) = a - b$ ,

$(\sqrt{a}+\sqrt{b})^{-1} = \frac{1}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}-\sqrt{b}}{(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b})} = \frac{\sqrt{a}- \sqrt{b}} {a - b}$