Rendita finanziaria

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

Questa voce di economia non è ancora formattata secondo gli standard: contribuisci a migliorarla seguendo le convenzioni di Wikipedia e del Progetto economia. Voce segnalata nel giugno 2006

Una rendita finanziaria S è una successione di importi, chiamate rate, da riscuotere (o da pagare) in epoche differenti, chiamate scadenze, ad intervalli di tempo determinati.

Una rendita è quindi individuata da 3 argomenti:

$R_k\;$ : rata da riscuotere (o da pagare) alla scadenza $t_k\;$

$t_k\;$ : scadenza, cioè il momento all'interno del k-esimo intervallo in cui viene riscossa (o pagata) la rata $R_k\;$

$n\;$ : numero di rate totali

e si può indicare con $S= ( R_k , \; t_k\;)$ dove $k \;=0,1,2,...,n$

Indice

1 Classificazione delle rendite
2 Valore di una rendita
- 2.1 Valore attuale di una rendita
  - 2.1.1 Valore attuale di una rendita periodica posticipata immediata di n rate costanti in un regime di sconto composto al tasso di interesse i
- 2.2 Montante di una rendita
  - 2.2.1 Montante di una rendita periodica anticipata immediata di n rate in regime di interesse composto al tasso di interesse i

[modifica] Classificazione delle rendite

Una rendita può essere classificata in base alle caratteristiche dei suoi argomenti:

$\mathbf{n}$ : numerosità delle rate

Se n è un numero finito la rendita si chiama temporanea
- Se n è stabilito a priori ed è indipendente da qualsiasi evento la rendita temporanea si dice certa
- Se invece n non è stabilito a priori e dipende, ad esempio, dall'esistenza in vita di una persona si dice vitalizia

Se n è infinito la rendita si chiama perpetua

$\mathbf{t_{k}}$ : periodicità e scadenza

Se le scadenze sono separate da un intervallo di tempo uguale la rendita è periodica e la quantità corrisponde a un periodo:
- Se p = 1 mese la rendita è detta mensile, se p = 1 anno la rendita è detta annuale, se p = 3 mesi la rendita è detta trimestrale e così via.

Se la scadenza è fissata all'inizio di un intervallo di tempo la rendita è anticipata
Se la scadenza è fissata al termine di un intervallo la rendita è posticipata

$\mathbf{R_{k}}$ : decorrenza

Se la prima rata viene riscossa (o pagata) da subito la rendita è detta immediata.

Immagine:Rendita posticipata immediata_rev2.png

Se la prima rata viene riscossa (o pagata) a cominciare da un certo istante $\;t_p$ successivo a $\;t_0$ , la rendita si dice differita di un periodo p.

Esempio:

Immagine:Rendita anticipata differita_rev2.png

Immagine:Rendita posticipata differita_rev2.png

È evidente che una rendita anticipata differita di un periodo p coincide con ua rendita posticipata differita di un periodo p-1

Una rendita può essere infine a rata costante se tutte le rate non nulle hanno lo stesso valore, oppure a rata variabile se non hanno lo stesso valore

[modifica] Valore di una rendita

Il valore $\;V(t_j)$ di una rendita finanziaria all'istante $\;t_j$ è la somma dei montanti delle rate con scadenze antecedenti a $\;t_j$ , dei valori attuali delle rate con scadenze successive a $\;t_j$ , ed eventualmente della rata $\;R_j$ con scadenza $\;t_j$

Nel caso più generale quindi:

dove

$f(t_j\;-\;t_k)$ è il Fattore di montante e $g(t_k\;-\;t_j)$ è il Fattore di sconto nel regime di capitalizzazione prescelto.

[modifica] Valore attuale di una rendita

Il valore attuale di una rendita è il valore $\;V(t_0)$ calcolato al tempo $\;t=t_0$ ed equivale alla somma dei valori attuali delle singole rate della rendita nel regime di capitalizzazione prescelto.

[modifica] Valore attuale di una rendita periodica posticipata immediata di n rate costanti in un regime di sconto composto al tasso di interesse i

Nel regime di sconto composto in cui il tasso di interesse, per un periodo $\; p= t_{k+1}-t_k$ , è $\;i$ , il fattore di sconto per un periodo p è

$g(t_k-t_0)=\frac{1}{(1+i)^k}$

quindi

$\; V(t_0)=\sum^{n}_{k=0}R_k \; g(t_k\;-\;t_0)= \; \sum^{n}_{k=0}R_k \; \frac{1}{(1+i)^k}$

essendo la rendita posticipata immediata e a rata costante: $\;R_{0}=0 \quad$ e $\;R_{1}=R_{2}=...=R_{n}=R$

$\; V(t_0)= R\; \sum^{n}_{k=1}\frac{1}{(1+i)^k}$

osservando che

$\sum^{n}_{k=1}\frac{1}{(1+i)^k}$ è una serie geometrica di ragione $r=\frac{1}{(1+i)}$

e sapendo che per una serie geometrica

$\sum^{n}_{k=1}r^k\; =\; r\; \frac{1-r^n}{1-r}\;=\;\left( \frac{1}{1+i}\right) \;\frac{1-(\frac{1}{1+i})^n}{1-\frac{1}{1+i}}\; = \; \frac{1-(\frac{1}{1+i})^n}{i}$

il valore attuale della rendita in esame è

$\; V(t_0)= R\; \frac{1-(\frac{1}{1+i})^n}{i}$

Se si considera una rendita periodica posticipata unitaria di n rate unitarie, cioè $\;R=1$ , il valore attuale si indica con $a_{\bar{n}|i}$ da leggersi "a figurato n al tasso i"

$\; V(t_0)= a_{\bar{n}|i}= \frac{1-(\frac{1}{1+i})^n}{i}$

[modifica] Montante di una rendita

Il montante di una rendita è il valore $\;V(t_n)$ calcolato al tempo $\;t=t_n$ ed equivale alla somma dei montanti delle singole rate calcolati al termine della rendita nel regime di capitalizzazione prescelto.

[modifica] Montante di una rendita periodica anticipata immediata di n rate in regime di interesse composto al tasso di interesse i

Nel regime a interesse composto in cui il tasso di interesse, per un periodo $\; p= t_{k+1}-t_k$ , è $\;i$ , il fattore di montante è

$\;f(t_n-t_k)=(1+i)^{n-k}$

quindi

$\; V(t_n)=\; \sum^{n}_{k=0}R_k\; f(t_n\;-\;t_k)= \; \sum^{n}_{k=0}R_k\; (1+i)^{n-k}$

essendo la rendita anticipata immediata e a rata costante l'ultima rata viene pagata all'istante $t n - 1$ , quindi $\;R_n=0$ , e $\;R_{0}=R_{1}=R_{2}=...=R_{n-1}=R$

$V(t_n)=\;R \;\left[(1+i)^n+(1+i)^{n-1}+....+(1+i)\right]\;=\;R\; \sum^{n}_{k=1}\; (1+i)^{k}$

osservando che

$\sum^{n}_{k=1}\; (1+i)^{k}$ è una serie geometrica di ragione $\;r=(1+i)$

e sapendo che per una serie geometrica

$\sum^{n}_{k=1}r^k\; =\; r\; \frac{1-r^n}{1-r}\;=\;(1+i)\frac{(1+i)^n-1}{i}$

il montante della rendita in esame è

$\; V(t_n)=\; R\;(1+i)\;\frac{(1+i)^n-1}{i}$

Se si considera una rendita periodica anticipata immediata con rate unitarie, cioè $\;R=1$ , il montante si indica con $\ddot{s}_{\bar{n}|i}$ da leggersi "s anticipato figurato n al tasso i"