Riferimento proiettivo

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In matematica, e più precisamente in geometria proiettiva, un riferimento proiettivo è una struttura, simile a quella di base per gli spazi vettoriali, che permette di assegnare ad ogni punto di uno spazio proiettivo delle coordinate omogenee.

Indice

1 Definizione
2 Proprietà
- 2.1 Dal riferimento alla base
- 2.2 Dalla base alle coordinate omogenee
3 Esempi
- 3.1 Retta proiettiva
- 3.2 Piano proiettivo
4 Voci correlate

[modifica] Definizione

Sia $\mathbb P(V)$ uno spazio proiettivo di dimensione $n$ (cioè $V$ ha dimensione $n + 1$ ). Un riferimento proiettivo è una collezione di $n + 2$ punti in $\mathbb P(V)$

$P_0,P_1,\ldots, P_{n+1}$

tali che nessun sottoinsieme di $n + 1$ di questi punti è contenuto in un iperpiano.

[modifica] Proprietà

[modifica] Dal riferimento alla base

Un riferimento proiettivo identifica una base dello spazio vettoriale $V$ in modo unico, a meno di un fattore moltiplicativo $λ$ (da applicare a tutti i vettori della base). Tramite la base, è quindi possibile scrivere ogni vettore di $V$ in coordinate, e quindi ogni vettore di $\mathbb P(V)$ in coordinate omogenee.

Più precisamente, indicando con $p$ la proiezione

$p:V \to \mathbb P(V),$

vale il fatto seguente:

Esiste una base $v_0,\ldots, v_n$ di $V$ tale che

$p(v_0) = P_0, \ldots, p(v_n) = P_n,\ p(v_0+\ldots +v_n) = P_{n+1}.$

Ogni altra base con questa proprietà è del tipo $\lambda v_0, \ldots, \lambda v_n$ , per qualche $λ$ in $K$ .

Per il loro ruolo, i punti $P_0,\ldots, P_n$ sono detti punti fondamentali e $P n + 1$ è il punto unità.

I punti fondamentali non sono sufficienti a determinare una base a meno di un solo fattore $λ$ globale: per questo scopo è necessario considerare anche il punto unità.

[modifica] Dalla base alle coordinate omogenee

Tramite la base $v_0,\ldots v_n$ , ogni vettore $v$ di $V$ è descrivibile tramite le sue coordinate, determinate dalla relazione

$v = a_0v_0+\ldots a_nv_n.$

Le coordinate di $v$ sono quindi $(a_0,\ldots, a_n)$ . È quindi possibile assegnare alla sua proiezione $p (v)$ le coordinate omogenee

$[a_0,\ldots,a_n].\,\!$

Il fattore di arbitrarietà $λ$ nella scelta della base non influisce nel risultato: infatti la base $\lambda v_1,\ldots, \lambda v_n$ fornisce le coordinate

$\left[\frac {a_0}\lambda, \ldots, \frac{a_n}\lambda\right]$

equivalenti alle precedenti, poiché omogenee.

Le coordinate omogenee dei punti $P_0,\ldots, P_{n+1}$ risultano essere quindi rispettivamente

$\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{bmatrix},\ldots, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{bmatrix}$

[modifica] Esempi

[modifica] Retta proiettiva

In una retta proiettiva, un sistema proiettivo necessita di tre punti distinti $P 0, P 1$ e $P 2$ , le cui coordinate saranno quindi rispettivamente $[1,0],[0,1]$ e $[1,1]$ .

[modifica] Piano proiettivo

In un piano proiettivo, un sistema proiettivo necessita di quattro punti $P 0, P 1, P 2$ e $P 3$ . Per ipotesi, tre di questi quattro punti non devono mai giacere su una stessa retta, cioè non devono essere allineati. Le loro coordinate saranno rispettivamente $[1,0,0]$ , $[0,1,0]$ , $[0,0,1]$ e $[1,1,1]$ .