Spazio vettoriale

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In matematica, lo spazio vettoriale (chiamato più raramente spazio lineare) è una struttura algebrica di grande importanza. Si tratta di una generalizzazione dell'insieme formato da tutti i vettori del piano cartesiano ordinario o dello spazio tridimensionale dotato di un'origine (l'ambiente nel quale si studiano i fenomeni della fisica classica, quella sviluppata da Galileo, Newton, Laplace, Maxwell, ...).

Si incontrano spazi vettoriali in numerosi capitoli della matematica moderna e nelle sue applicazioni: questi servono principalmente per studiare le soluzioni dei sistemi di equazioni lineari e delle equazioni differenziali lineari. Con queste equazioni si trattano moltissime situazioni: quindi si incontrano spazi vettoriali nella statistica, nella scienza delle costruzioni, nella meccanica quantistica, nella biologia molecolare, ... .

Strutture analoghe agli spazi vettoriali in matematica sono quelle di gruppo, anello e campo.

[modifica] Definizione formale

La definizione di uno spazio vettoriale richiede di servirsi di un corpo: sono interessanti soprattutto il corpo commutativo (detto anche campo) dei numeri reali e quello dei complessi; di notevole interesse sono anche i campi finiti, come il campo delle classi di resto modulo p, con p numero primo. Qui denotiamo con K un generico corpo.

Si dice che l'insieme V è sostegno di uno spazio vettoriale sul corpo K se in V è definita un'operazione interna (+) per cui (V,+) è un gruppo commutativo ed è altresì definita una legge di composizione esterna (*) K×V→V - detta prodotto esterno - per la quale valgono le seguenti proprietà:

∀ a,b ∈ K, ∀ v ∈ V, a * (b * v) = (a · b) * v
Associatività del prodotto esterno.
Sia 1 l'unità di K : ∀ v ∈ V, 1 * v = v
Neutralità di 1 rispetto al prodotto esterno.
∀ a ∈ K, ∀ u,v ∈ V, a * (u + v) = a * u + a * v
Distributività del prodotto esterno rispetto all'addizione vettoriale.
∀ a,b ∈ K, ∀ v ∈ V, (a + b) * v = a * v + b * v
Distributività del prodotto esterno rispetto all'addizione definita nel corpo.

La struttura algebrica così definità si simboleggia con (V,K) o semplicemente con V laddove non ci siano equivoci sul corpo di definizione. In questo contesto gli elementi di K sono detti scalari o numeri mentre gli oggetti di V si dicono vettori o punti. I vettori si simboleggiano con caratteri in grassetto, sottolineati o sormontati da una freccia. Tale linguaggio consente di sostituire la dicitura prodotto esterno con prodotto per uno scalare. Poiché la moltiplicazione per uno scalare è una legge di composizione esterna di K×V→V si dice che V ha struttura di spazio vettoriale sinistro. Nulla vieta di definire la composizione con uno scalare a destra; in tal caso si parlerà di spazio vettoriale destro. La distinzione viene meno qualora K sia un campo.

Da queste proprietà, possono essere immediatamente dimostrate le seguenti formule, valide per ogni a in K e ogni v in V:

a * 0 = 0 * v = 0

-(a * v) = (-a) * v = a * (-v)

dove 0 è lo zero in K e 0 è lo zero in V.

[modifica] Esempi

Siano m ed n interi positivi e K un campo qualsiasi, ad esempio R o C.

L'insieme K ⁿ formato da tutte le n-uple (x₁, ..., x_n) di elementi di K, con le operazioni di somma e di prodotto per scalare definite termine a termine (puntuali).

L'insieme delle matrici m×n su K, con le operazioni di somma tra matrici e prodotto di uno scalare per una matrice.

L'insieme K [x] dei polinomi a coefficienti in K e con variabile x, con le operazioni usuali di somma fra polinomi e prodotto di un polinomio per uno scalare.

L'insieme F(X, K) di tutte le funzioni da un fissato insieme X in K, dove:
- la somma di due funzioni f e g è definita come la funzione (f + g) che manda x in f(x)+g(x),
- il prodotto (λf) di una funzione f per uno scalare λ in K è la funzione che manda x in λf(x).

L'insieme Hom(V, W) delle applicazioni lineari tra due spazi vettoriali V e W su K.

Numerosi altri esempi si costruiscono come sottospazi di uno degli spazi elencati sopra. Uno spazio vettoriale su R, l'insieme dei numeri reali, è chiamato spazio vettoriale reale. Uno spazio vettoriale su C, l'insieme dei numeri complessi, è chiamato spazio vettoriale complesso.

[modifica] Generalizzazioni e altre strutture

È comune studiare spazi vettoriali con certe strutture addizionali. Questo è spesso necessario per formalizzare alcune nozioni della geometria.

Uno spazio vettoriale in cui è definita una norma, cioè una lunghezza dei suoi vettori, è chiamato spazio normato. L'importanza degli spazi vettoriali normati dipende dal fatto che a partire dalla norma dei singoli vettori si definisce la distanza fra due vettori come norma della loro differenza e questa nozione consente di definire costruzioni topologiche e metriche.
Uno spazio normato completo rispetto alla metrica indotta è uno spazio di Banach.
Uno spazio vettoriale complesso (rispettivamente reale) in cui è definito un prodotto scalare sesquilineare (rispettivamente bilineare), e quindi anche i concetti di angolo e lunghezza di vettori, è chiamato spazio prehilbertiano (rispettivamente spazio euclideo). Uno spazio dotato di prodotto scalare è anche normato, mentre in generale non vale il viceversa.
Uno spazio dotato di prodotto scalare (prehilbertiano o euclideo) completo rispetto alla metrica indotta è uno spazio di Hilbert.
Uno spazio vettoriale con una topologia è uno spazio vettoriale topologico.
Uno spazio vettoriale con un operatore bilineare che definisce una moltiplicazione tra vettori è un algebra su campo.

In tutti i casi, i concetti di lunghezza, angolo, prodotto scalare, topologia e moltiplicazione di vettori devono soddisfare delle proprietà di compatibilità con la struttura di spazio vettoriale.

Una generalizzazione del concetto di spazio vettoriale è invece quella di modulo, in cui K non è più un corpo ma solamente un anello.