Serie complesse

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Indice

1 Introduzione
2 Serie di funzioni complesse
- 2.1 Primo teorema di Weierstrass
- 2.2 Secondo teorema di Weierstrass
3 Serie di potenze
- 3.1 Teorema di Abel
- 3.2 Formula di Cauchy - Hadamard
4 Serie di Taylor
5 Serie di Laurent
6 Voci correlate

[modifica] Introduzione

Possiamo definire la serie infinita a termini complessi come:

$1) \ z_1 + z_2 + ... + z_n + ...$ , ossia:

2)(a 1 + i b 1) + (a 2 + i b 2) + ... + (a n + i b n) + ...

o più sinteticamente:

$\sum_{n=0}^{\infty} z_n$

Questa serie si dice convergente se la somma dei primi n termini:

$S n = (a 1 + a 2 + ... + a n) + i (b 1 + b 2 + ... + b n)$

tende ad un limite finito al tendere di $n \to \infty$ . Si può dedurre che la serie è convergente ad S se sono convergenti le due serie parte reale e parte immaginaria rispettivamente ai punti A e B, allora la serie generale converge al punto $S = A + i B$ , che è detta somma della serie.

Condizione necessaria per la convergenza

Condizione necessaria per la convergenza della serie è che:

$\lim_{n \to \infty} z_n = 0$

cioè i termini della serie sono limitati.

Teorema

Convergenza assoluta

Se la serie complessa ottenuta prendendo i valori assoluti dei termini della serie $2)$ cioè:

$\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} } + \sqrt{a_{2}^{2}+ b_{2}^{2}} + ... + \sqrt{a_{n}^{2} + b_{n}^{2} } + ... = \sum_{n = 0}^{\infty} |z_n|$

è convergente allora anche la serie $2)$ è convergente.

Infatti dalla disuguaglianza $\sqrt{a_{n}^{2}+ b_{n}^{2}} \ge |a_n|$ e anche $\sqrt{a_{n}^{2}+ b_{n}^{2}} \ge |b_n|$ segue che entrambe le serie ${a n}$ e ${b n}$ convergono e quindi converge la $2)$ .

Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza

Affinché la serie $2)$ converga è necessario e sufficiente che $\forall \epsilon > 0 \ , \ \exist N > 0$ tale che per pintero positivo qualsiasi:

$\left| \sum_{j = n+1}^{n+p} (a_j + i b_j) \right| < \epsilon$ per

n > N

Valgono tutte le proprietà delle serie numeriche reali.

[modifica] Serie di funzioni complesse

Per quanto riguarda le serie di funzioni complesse del tipo:

v 1 (z) + v 2 (z) + ...

essa è uniformemente convergente se $\exists N > 0$ ; $\forall z \in A$ tale che:

$\mid \sum_{i = n + 1}^{n + p} v_i(z) \mid < \epsilon$

per ogni $ε > 0$ e per ogni $n > N$ e $p$ intero positivo. Se i termini della serie sono continue in un dominio A e la serie è uniformemente convergente allora anche la somma della serie è continua in A.

Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza assoluta e uniforme della serie è che per tutti i valori di z i termini della serie siano tutti limitati nel dominio A.

[modifica] Primo teorema di Weierstrass

Se i termini di una serie sono funzioni analitiche in un dominio A, semplicemente connesso, la sua somma S(z) è una funzione analitica nella stesso dominio.

Dimostrazione

Nelle ipotesi del teorema la funzione somma è sicuramente continua e si può scambiare la serie con l'integrale:

$\int_{\gamma} S(z) dz = \int dz \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} f_k (z) = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \int_{\gamma} f_k(z) dz$

dove $γ$ è una qualsiasi curva chiusa appartenente al dominio A. Ne segue che:

$\oint_{\gamma} dz \ S(z) = 0$

e per il teorema di Morera, S(z) è analitica.

[modifica] Secondo teorema di Weierstrass

Se una serie di funzioni analitiche in un dominio connesso e chiuso A è uniformemente convergente, può essere derivata termine a termine n volte.

[modifica] Serie di potenze

Una serie di potenze positive è del tipo:

$\sum_{k=0}^\infty a_k (z-z_0)^k = a_0 + a_1(z-z_0) + a_2(z-z_0)^2 +...$

La convergenza di questa serie segue quella di tutte le serie complesse. Ci possiamo domandare se esiste in generale una regione di convergenza della serie di potenze e la risposta è nel teorema di Abel.

[modifica] Teorema di Abel

Se una serie di potenze positive $\sum_{n=0}^{\infty} c_n (z - z')^n$ converge in un punto $z = z 0$ , allora essa converge in ogni punto $| z - z' | < | z 0 - z' |$ uniformemente, cioè in ogni cerchio di raggio $R \le |z_0 - z'|$ .

Dimostrazione

Secondo le ipotesi del teorema la serie converge in $z = z 0$ e vogliamo provare la sua convergenza in tutto un cerchio di raggio R. Se riscriviamo:

$c_n (z-z')^n = c_n (z-z')^n \left(\frac{z-z'}{z_0 - z'} \right)^n$

e questa serie converge in $z = z 0$ allora possiamo maggiorare:

$| \sum_{n=0}^{\infty} c_n (z - z')^n | \le M \sum_{n=0}^{\infty} | \frac{z-z'}{z_0 - z'} |^n \le M \cdot \sum_{n=0}^{\infty} k^n = \frac{M}{1-k}$

che ci dice che la convergenza è assoluta e uniforme, c. v. d.

Ma allora ci chiediamo come si possa stabilire con esattezza il valore del raggio di convergenza R.

[modifica] Formula di Cauchy - Hadamard

Il raggio di convergenza di una serie di potenze intere positive $\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z')^n$ è uguale a:

$R = \lim_{n \to \infty} \left | \frac {a_n} {a_{n+1}} \right|$

oppure:

$\frac{1}{R} = \lim_{n \to \infty} \left( | a_n | \right)^{1/n}$

se tale limite esiste ed è finito.

All'interno di questo raggio la serie è uniformemente e assolutamente convergente; sulla circonferenza può convergere o meno e si valuta caso per caso e la serie diverge al di fuori di questo cerchio. Può capitare il caso in cui la serie converga in un solo punto, allora la serie è necessariamente composta di un solo termine.

Seguono i corollari:

Dai Teoremi di Weierstrass e Abel discende che la somma di una serie di potenze intere nel suo cerchio di convergenza è una funzione analitica.

Dai Teoremi di Weierstrass e Abel discende che ogni serie di potenze è una serie di Taylor della funzione somma.

[modifica] Serie di Taylor

Per approfondire, vedi la voce Serie di Taylor.

La serie di Taylor è lo sviluppo in serie di potenze in un punto regolare, cioè in un punto in cui la funzione è analitica, di una funzione nel suo cerchio di convergenza e tale sviluppo è unico:

$\sum_{k=0}^\infty a_k (z-z_0)^k$

con: $a_k= \frac {1} {k!} \left [\frac {d^k f(z)} {dz^k} \right]_{z=z_0} = \frac {1} {2\pi i} \int_{C} \frac {f(z)} {(z-z_0)^{k+1}} \, dz$

Dimostrazione

Dalla rappresentazione di Cauchy:

$f(z) = \frac {1} {2\pi i} \oint_{C} \frac {f(z')} {(z'-z)} \ dz'$ .

Sviluppando il denominatore nel seguente modo:

$\frac {1} {z'-z_0-(z-z_0)} = \frac {1} {z'-z_0} \cdot \sum_{k=0}^\infty \left (\frac {z-z_0} {z'-z_0}\right)^k$

Integrando termine a termine questa serie che è uniformemente convergente, si ottiene:

$f(z) = \sum_{k=0}^{\infty} (z-z_0)^k \frac {1} {2\pi i} \oint_{C} \frac {f(z')} {(z'-z_0)^{k+1}} \ dz'$ ,

dove $a_k = \frac {1} {2\pi i} \oint_{C} \frac {f(z')} {(z'- z_0)} \ dz' = \frac {f^{(k)} (z_0)}{k!}$ c. v. d.

Inoltre questa serie è convergente entro il cerchio di convergenza ed entro il dominio di analiticità della funzione $f (z)$ e può essere derivata termine a termine.

[modifica] Serie di Laurent

Per approfondire, vedi la voce Serie di Laurent.

La serie di potenze di Laurent ha la differenza fondamentale di considerare anche le potenze negative:

$\sum_{k=-\infty}^\infty d_k (z-z_0)^k$

con: $d_k = \frac {1} {2\pi i} \oint_{C} \frac {f(z)} {(z-z_0)^{k+1}} \ dz$

In generale $d k$ non è la derivata $\frac {d^k f(z)} {dz^k}$ .

Supponiamo allora che la funzione $f (z)$ sia olomorfa nella corona circolare di centro b formata dalle circonferenze $C 2$ interna e $C 1$ esterna e sulle circonferenze. Per ogni punto z la formula integrale di Cauchy si scrive:

$f(z) = \frac{1}{2 \pi i}\oint_{C_1} \frac{f(z')}{z'-z} dz' + \frac{1}{2 \pi i} \oint_{C_2} \frac{f(z')}{z'-z} dz'$

Integrando il primo integrale su $C 1$ abbiamo: $\left| \frac{z-b}{z'-b} \right| < 1$ e possiamo rappresentare il primo membro in serie di Taylor. Il secondo membro dà sempre $\left| \frac{z-b}{z'-b} \right| < 1$ e si ha uno sviluppo:

$\frac{1}{z'-z}= - \frac{1}{z-b} \frac{1}{1-\frac{z'-b}{z-b}} = - \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(z'-b)^k}{(z-b)^{k+1}}$

cioè in serie di potenze negative di $(z - b)$ . Raggruppando le due serie otteniamo la serie di Laurent. La serie di Laurent ha potenze positive e negative dunque il dominio di questa serie non comprende il punto $z 0$ che annullerebbe le potenze negative e risulta che la regione di convergenza non è un cerchio ma una regione anulare, cioè una corona circolare:

$|z - z_0| < \rho_2 \, e \, |z - z_0| > \rho_1$ o ancora meglio: