Poli e Residui

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Indice

1 Zeri
2 Singolarità isolate
3 Residui
- 3.1 Teorema dei residui
- 3.2 Calcolo dei residui
4 Voci correlate

[modifica] Zeri

Un punto regolare $z = z 0$ è uno zero di ordine n della funzione f(z) se la funzione si annulla in $z 0$ , le sue derivate (n-1)-esime si annullano in quel punto eccetto la derivata n-esima.

La corrispondente funzione sviluppata in serie di Taylor è:

$\sum_{k=n}^\infty a_k \cdot (z-z_0)^k$

è ancora una funzione analitica che non è nulla in $z = z 0$ .

[modifica] Singolarità isolate

In generale un punto singolare isolato è un punto in cui la funzione non è analitica e si possono avere diversi casi a seconda che la funzione sia limitata e abbia limite definito avvicinandosi verso questo punto, oppure questo limite è infinito oppure ancora non è limitata ma non tende neppure all'infinito vicino a questo punto.

Nel caso di funzioni polidrome si avranno altri punti singolari detti punti di diramazione.

Punti singolari isolati

Nel primo caso si ha un punto singolare isolato $z 0$ cioè un punto di non analiticità della funzione, pur essendo analitica nell'intorno di questo punto. in questo caso esistendo il limite di questa funzione nel punto allora possiamo estendere l'analiticità anche in $z 0$ . In termini di sviluppo in serie di potenze questo significa che la funzione può essere sviluppata in serie di taylor non possedendo potenze negative.

Poli

Nel secondo caso si ha un punto singolare isolato detto polo di f(z) se lo sviluppo in serie di Laurent intorno a $z 0$ ammette un numero finito di potenze negative, cioè un polo di ordine n è tale che sono nulli tutti i coefficienti di ordine (n-1) eccetto quello di ordine n.

In termini di sviluppo in serie di potenze la funzione che ha un polo in $z 0$ deve essere sviluppata in serie di Laurent nell'intorno di un polo di ordine n è:

$\sum_{k=-n}^\infty d_k \cdot (z-z_0)^k$

è facile scomporre questa sommatoria in una serie di potenze negative e una serie di Taylor, così che la funzione può essere espressa come:

$f(z)= \frac {g(z_0)} {(z-z_0)^n}$

dove g(z) è la funzione analitica data dallo sviluppo in serie di Taylor in $z 0$ . Denotiamo solo il fatto che il coefficiente di $(z - z 0) - 1$ è detto residuo.

Singolarità essenziali

Nel terzo caso si ha nel punto $z = z 0$ una singolarità essenziale isolata di f(z) se è un punto singolare isolato e lo sviluppo in serie di Laurent ha un numero infinito di potenze negative. Per studiare questo caso si introduce il concetto di punto all'infinito $z = \infty$ del piano e si chiama intorno del punto all'infinito la parte del piano centrato in $z 0$ di raggio interno $ρ > 0$ e raggio esterno $\rho = \infty$ . Possiamo sviluppare la funzione in serie di Laurent con la sostituzione $t = \frac {1}{z}$ si trasforma nell'intorno $|t| < \frac {1}{\rho}$ del punto $z = \infty \longrightarrow t = 0$ :

$f \left ( \frac {1}{t} \right) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} a_{-k} t^{-k}$

e si possono avere i casi:

1) in cui non si hanno potenze negative e allora riotteniamo:

$f \left (\frac {1}{t} \right) = a_0 + a_1 \cdot t + a_2 \cdot t^2 + ... = f(z) = a_0 + \frac {a_1}{z} + \frac {a_2}{z^2} + ...$

da cui si deduce che $\frac {1}{t} \longrightarrow a_0$ per $t \longrightarrow 0$ che corrisponde a $f(z) \longrightarrow a_0$ per $|z| \longrightarrow \infty$ ; cioè la funzione è analitica nel punto di infinito e si suppone che $f(\infty) = a_0$ .

2) in cui lo sviluppo contiene un numero finito m di termini con potenze negative di z, in questo caso si ha un polo di ordine m, infatti la funzione tende all'infinito nel punto di infinito e si suppone che $f(\infty) = \infty$ .

3) in cui lo sviluppo contiene un numero infinito di termini di potenze negative; allora il punto di infinito è un punto singolare essenziale per la funzione.

In tutti i tre casi si chiama residuo il coefficiente $- a 1$ della potenza $z - 1$ .

[modifica] Residui

Sia f(z) una funzione analitica in un dominio A, $z 0$ è un punto singolare isolato e $γ$ una curva di Jordan contenuta in A e contenente $z 0$ . Si definisce residuo della funzione f(z) in $z 0$ :

$\{Resf(z) \}_{z=z_0}= \frac {1} {2\pi i} \oint_{\gamma} f(z) \, dz$

Dall'equazione dello sviluppo in serie di Laurent per k = -1 si vede subito che:

$\{Resf(z) \}_{z=z_0}= d_{-1}$

Quindi il residuo di una funzione in un punto singolare isolato è il coefficiente della potenza (-1)-esima dello sviluppo in serie di Laurent intorno a questo punto.

Per approfondire, vedi la voce Teorema dei residui.

[modifica] Teorema dei residui

Sia f(z) una funzione analitica in un dominio A, eccetto che in un numero finito di singolarità isolate e sia $γ$ una curva di Jordan contenuta in A che non interseca punti singolari; allora:

$\oint_{\gamma} f(z) \, dz = 2\pi i \cdot \sum_{k=1}^n \{Resf(z) \}_{z=z_k}$

dove $z 1,..., z n$ sono i punti singolari della funzione.

[modifica] Calcolo dei residui

Se $z 0$ è una singolarità essenziale dobbiamo usare la definizione di residuo.

Se $z 0$ è un polo di ordine n si può invece calcolare utilizzando lo sviluppo in serie di Laurent una volta visto che:

g (z) = (z - z 0) n f (z)

$\{ Res f(z) \}_{z=z_0} = \frac {1} {(n-1)!} \cdot \lim_{z \to z_0} \{ \frac {d^{n-1}} {dz^{n-1}} \cdot \left[(z-z_0)^n \cdot f(z) \right] \}$

Nel caso particolare di polo di ordine 1 detto anche polo semplice si ha:

$\{ Res f(z) \}_{z=z_0} = d_{-1}$

Il calcolo dei residui è importante per la risoluzione degli integrali di variabile complessa, ma anche di integrali di variabili reali che non hanno forma analitica esplicitamente calcolabile con i metodi tipici di integrazione.