Serie geometrica con termine generale frazionario
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Il termine generale di una serie geometrica è un numero reale arbitrario. Quando il termine generale è minore di uno ed è una serie del tipo:
con x < 1.
La serie è convergente. Infatti, per 
il termine generale an = xn − − > 0.
La serie di ragione x converge (per , ad un numero finito pari a 1 / (1 − | x | ).
Un esempio semplice di serie esponenziale è il seguente.
.
Lo sviluppo di questa serie è:
.
La somma è calcolabile rispetto ad una dato n ed è comunque una proxy del valore della serie. L'errore è tanto più basso quanto più è grande il numero di addendi n presi in considerazione nel calcolo. In valore assoluto, infatti, gli incrementi sono decrescenti. Vale che:
.
Tale espressione, equivale a:
- | xn + 2 − xn + 1 | < | xn + 1 − xn | .
Senza discutere il valore assoluto, possiamo capire con un esempio che la differenza fra due addendi consecutivi è crescente (incrementi crescenti), mentre decresce in valore assoluto (errore en − − − > 0 nel calcolo della somma, per 
).
Per x = (1 / 2) abbiamo:
(1) | (1 / 8) − (1 / 4) | < | (1 / 4) − (1 / 2) | = , cioè:
= | − (1 / 8) | < | − (2 / 8) | = = + (1 / 8) < + (2 / 8) − − − > OK
Dunque:
- en = {2° membro} - {1° membro} − − − > 0 per .
Mentre, senza il valore assoluto:
(2) (1 / 8) − (1 / 4) > (1 / 4) − (1 / 2) = , cioè:
= − (1 / 8) > − (2 / 8) − − − > OK
La serie decresce secondo incrementi crescenti. Nel continuo, diremmo che la funzione ha derivata prima positiva (crescente) e seconda negativa e decrescente. Ciò equivale ad affermare, che l'esponenziale tende rapidamente a zero.
Infatti, presi tre numeri consecutivi (in progressione decrescente), la differenza fra gli ultimi due (con n più grande) è maggiore di quella fra i primi due:
xn + 2 − xn + 1 > xn + 1 − xn.
Infatti, dividendo enttrambi i membri per xn, otteniamo che:
x2 − 2x + 1 > 0 − − − > (x − 1)2 > 0 − − − > x! = + 1.
Nella serie esponenziale (definita con xn < 1) ciò è vero sempre. La proprietà può essere generalizzata a qualsiasi sommatoria an di n addendi a piacere, e al valore dell'intera serie.
Tornando all'esempio di prima, la somma, troncata per n = 3, è:
.
Invece, la somma troncata per n = 4, è:
.
= 0.875 + 0.0625 = 0.9375 = a4.
Infine, per n = 5, la somma è:
.
= 0.9375 + 0.03125 = 0.96875 = a5.
Il cambiamento fra i due risultati non è limitato all'aggiunta di qualche ulteriore cifra decimale. Come si può notare, a causa del nuovo addendo, aumenta l'intera somma e diminuisce la distanza (o errore) dal valore al quale converge la serie 1 / [1 − | (1 / 2) | ] = 2.
[modifica] Applicazioni della serie esponenziale
La serie esponenziale ha varie applicazioni in economia ed è stata utilizzata nella soluzione del paradosso di Zenone.
Gli antichi Greci non accettavano l'idea che la somma di infiniti numeri potesse essere un numero finito.
La serie esponenziale è un caso semplice di sommatoria finita di infiniti addendi. Al crescere di n, le frazioni sono numeri sempre più piccoli che cambia secondo incrementi decrescenti il numero a cui converge la serie.
