Somma di Minkowski
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In geometria la somma di Minkowski di due insiemi di punti A e B in uno spazio vettoriale è l'insieme dei punti ottenuti addizionando i vari elementi di A e i diversi elementi di B, cioè l'insieme
Per esempio, se abbiamo due 2-simplessi (cioè due triangoli) individuati dai vertici come
- {(1, 0), (0, 1), (0, -1)}
e
- {(0, 0), (1, 1), (1, -1)} ,
allora la somma di Minkowski deve contenere tutti i punti ottenibili sommando coppie di vertici, cioè i punti
- {(1, 0), (2, 1), (2, -1), (0, 1), (1, 2), (1, 0), (0, -1), (1, 0), (1, -2)},
e tutti i punti ottenibili come combinazioni convesse dei precedenti, cioè tutti i punti dell'esagono convesso che ha come vertici i punti
- (0,1), (1,2), (2,1), (2,-1), (1,-2), (0,-1) .
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Si definisce quindi un'operazione binaria chiamata addizione di Minkowski, nome assegnato in onore del matematico tedesco Hermann Minkowski (1864-1909). Questa operazione è anche chiamata la dilatazione binaria di A da parte di B.
L'addizione di Minkowski serve in uno stadio della dimostrazione del teorema di Minkowski, nella forma particolare
per un insieme convesso simmetrico C che contiene 0, dove il membro sinistro denota la somma di Minkowski e il membro destro il suo ampliamento per una omotetia di un fattore 2.
Questa operazione è qualche volta chiamata la convoluzione di due insiemi. Si tratta di una dizione piuttosto inappropriata: la effettiva convoluzione delle funzioni indicatrici degli insiemi infatti è una funzione con lo stesso supporto della somma di Minkowski.
L'addizione di Minkowski gioca un ruolo centrale nella morfologia matematica. Questo interviene nel paradigma di pennello e aste della computer grafica 2D (introdotto da Donald E. Knuth per il sistema di definizione di caratteri tipografici METAFONT), e si conforma all'operazione di movimento solido della computer grafica 3D.
[modifica] Vedi anche:
- Intervallo aritmetico
- Zonotopo
