Spazio di Schwartz

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In matematica, lo spazio di Schwartz o spazio delle funzioni a decrescenza rapida indicato con $\mathcal{S}$ è lo spazio funzionale delle funzioni che decrescono velocemente (più di un polinomio). Questo spazio ha l'importante proprietà che è invariante sotto trasformata di Fourier, cioè la trasformata di Fourier è un endomorfismo di questo spazio. Questa proprietà consente, per dualità, di definire la trasformata di Fourier per gli elementi nello spazio duale di $\mathcal{S}$ , che è lo spazio delle distribuzioni temperate. Lo spazio di Schwartz ha il nome del matematico Laurent Schwartz.

[modifica] Definizione

Lo spazio di Schwartz $\mathcal{S}$ su $Ω$ è lo spazio funzionale

$\mathcal{S} \left(\Omega\right) = \{ f \in C^\infty(\Omega) \mid ||f||_{\alpha,\beta} < \infty\, \forall \, \alpha, \beta \},$

dove α, β sono multiindici, e $C^\infty(\Omega)$ è lo spazio delle funzioni con tutte le derivate continue da $Ω$ a $\mathbb{C}$ e

$||f||_{\alpha,\beta}=||x^\alpha D^\beta f||_\infty\,.$

$||\cdot||_\infty$ è la norma dell'estremo superiore, con la notazione multiindice.

[modifica] Esempi di funzioni in S

Se i è un multiindice, e a è un numero reale positivo, allora

$x^i e^{-a x^2} \in \mathcal{S} (\mathbb{R}).$

Ogni funzione $C^\inf$ con supporto compatto appartiene a $\mathcal{S}$ . Questo è semplice perché ogni derivate è continua, quindi (x^α D^β) f ha un massimo in Rⁿ.

[modifica] Proprietà

$\mathcal{S}$ è uno spazio vettoriale complesso. In altre parole $\mathcal{S}$ è chiuso sotto la somma e la moltiplicazione per scalari complessi.

Usando la regola di Leibniz, segue che $\mathcal{S}$ è chiuso anche sotto moltiplicazione; se if $f,g \in \mathcal{S}$ , allora $fg: x\mapsto f(x)g(x)$ appartiene ancora a $\mathcal{S}$ .