Spazio Lp

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Nota disambigua - Se stai cercando lo spazio delle successioni a p-esima potenza assolutamente convergenti, vedi Spazio l².

In matematica, e più precisamente in analisi funzionale, uno spazio L^p è uno spazio vettoriale, i cui elementi sono particolari classi di funzioni misurabili.

Gli spazi L^p sono spazi di Banach, dipendenti da un parametro p, che è un reale p maggiore o uguale a 1, oppure infinito. Lo spazio L² è anche uno spazio di Hilbert.

[modifica] Definizione

[modifica] Caso finito

Sia $p < \infty$ e $A$ un aperto dello spazio euclideo $\mathbb R^n$ . Consideriamo l'insieme $V$ delle funzioni misurabili $f$ definite su $A$ e a valori reali (o complessi) e tali che la quantità

$\| f \|_p = \left( \int |f(x)|^p dx \right)^{\frac{1}{p}}$

sia un numero finito (queste funzioni si dicono a potenza p-esima sommabile o p-sommabili). La disuguaglianza di Minkowsky

$\| f + g \|_p \le \| f \|_p+ \| g \|_p$

assicura che l'insieme $V$ è un sottospazio dello spazio vettoriale formato da tutte le funzioni definite su $A$ a valori reali. La quantità appena definita non è una norma, bensì solo una seminorma, a causa della presenza di funzioni non nulle con norma nulla (cioè le funzioni nulle quasi ovunque).

Per eliminare queste funzioni, si identificano due funzioni $f$ e $g$ quando la loro differenza $f - g$ ha norma nulla. L'insieme quoziente rispetto a questa relazione d'equivalenza è ancora uno spazio vettoriale, su cui la seminorma risulta essere una vera norma. Questo spazio normato è lo spazio $L p (A)$ . Poiché la norma risulta essere completa, questo è uno spazio di Banach.

[modifica] Caso infinito

La norma

$\|f\|_\infty := \inf \{ C\ge 0 : |f(x)| \le C \mbox{ quasi ovunque} \big\},$

definisce come sopra uno spazio di Banach, denotato $L^\infty(A)$ , lo spazio delle funzioni limitate quasi ovunque.

[modifica] Estensioni

Gli spazi $L p$ possono essere definiti prendendo come insieme di valori il campo dei numeri complessi. In questo caso si indica generalmente con

$L^p(A,\mathbb C).$

[modifica] Proprietà

[modifica] Caso p = 2

Nello spazio $L 2$ delle funzioni a quadrato sommabili, la norma è indotta dal prodotto scalare

$\langle f , g \rangle = \int_{A} \overline{f(x)} g(x) dx$

(il complesso coniugato di $f (x)$ è utile solo nel caso in cui le funzioni sono a valori complessi), e quindi uno spazio $L 2 (A)$ è uno spazio di Hilbert.

Il caso $p = 2$ è veramente speciale: in uno spazio $L p$ con $p$ diverso da 2 la norma non è mai indotta da un prodotto scalare.

[modifica] Disuguaglianza di Hölder

Se p, q sono reali e positivi tali che $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ e se $f \in L^p$ , $g \in L^q$ allora $f \cdot g \in L^1$ e vale:

$\| fg \| \le \| f \|_p \cdot \| g \|_q$

[modifica] Dualità

Se p è un valore finito, lo spazio duale continuo di $L p$ , definito come lo spazio di tutti i funzionali lineari continui, è isomorfo in modo naturale a $L q$ , dove q è tale che

$\frac 1 p + \frac 1 q = 1.$

L'isomorfismo associa a $g\in L^q$ il funzionale G dato da

$G(f) = \int \bar{f} g \;\mbox{d}\mu$

(il complesso coniugato è utile solo nel caso complesso).

Poiché la relazione 1/p + 1/q = 1 è simmetrica, $L p$ è uno spazio riflessivo, cioè il duale continuo del duale continuo di $L p$ (detto spazio biduale continuo) è naturalmente isomorfo a $L p$ .

Per p = 1, il duale di $L 1$ è isomorfo a $L^\infty$ , ma non è valido il viceversa: il duale di $L^\infty$ è uno spazio vettoriale "più grande" di $L 1$ e per questo motivo $L 1$ non è riflessivo.

[modifica] Condizioni di compattezza negli spazi $L p$

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[modifica] Voci correlate

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Categorie: Sect-stub | Spazi di Banach

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Indice

[modifica] Definizione

[modifica] Caso finito

[modifica] Caso infinito

[modifica] Estensioni

[modifica] Proprietà

[modifica] Caso p = 2

[modifica] Disuguaglianza di Hölder

[modifica] Dualità

[modifica] Condizioni di compattezza negli spazi $L p$

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[modifica] Proprietà

[modifica] Caso p = 2

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