Studio di funzione

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In matematica per studio di funzione si intende quell'insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare una funzione $f (x)$ al fine di determinarne alcune caratteristiche qualitative. Uno studio di funzione correttamente condotto permette di tracciare il grafico della funzione.

Grafico di una funzione esempio, realizzato con Derive 5

Indice

1 Operazioni preliminari

[modifica] Operazioni preliminari

Introduciamo dei concetti base per effettuare lo studio di funzione:

[modifica] Determinazione dell'insieme di definizione

Per determinare l'insieme di definizione (dominio) di una funzione assegnata in termini di funzioni elementari, a meno di indicazioni esplicite, si deve individuare il sottoinsieme dei reali più esteso entro il quale l'espressione che la definisce non perda di senso. In particolare conviene porre l'attenzione alle seguenti evenienze:

le funzioni fratte non esistono nei punti dove il denominatore si annulla,
le funzioni sotto radice di esponente pari non esistono se il radicando è minore di zero,
le funzioni logaritmiche non esistono nei punti dove l'argomento è minore o uguale a zero.

[modifica] Simmetrie e periodicità

Si deve porre l'attenzione alle eventuali simmetrie e periodicità della funzione che, se individuate, semplificano notevolmente lo studio della funzione.

Si veda Funzioni pari e dispari e Funzione periodica.

[modifica] Intersezioni con gli assi

Può essere utile a questo punto cominciare ad individuare alcuni punti del piano che stanno sul grafico della funzione, in particolare si è soliti cercare le eventuali intersezioni con gli assi cartesiani.

Per determinarle si opererà come segue:

intersezioni con l'asse x: sono i punti di coordinate (x,0) dove x è soluzione dell'equazione f(x) = 0. Si possono presentare diverse eventualità:
- l'equazione potrebbe non avere soluzioni, e in questo caso la funzione non ha intersezione con l'asse x,
- potrebbe avere una o più soluzioni, ma comunque un numero finito di soluzioni (e quindi un numero finito di punti di intersezione),
- ma potrebbe anche averne infinite.
intersezione con l'asse y: l'intersezione con l'asse y esiste solamente se lo 0 (zero) appartiene al dominio della funzione, nel qual caso questa intersezione è unica per definizione stessa di una funzione, e sarà il punto di coordinate $(0, f (0))$ .

[modifica] Segno della funzione

Ci si chiede ora di studiare il segno della funzione, cioè ci si chiede quando la funzione è positiva (sopra l'asse x) o negativa (al di sotto dell'asse x). In altre parole quali sono i valori della $x$ appartenenti al dominio tali che sia soddisfatta la disequazione $f (x) > 0$ e quali invece siano tali che sia soddisfatta la $f (x) < 0$ .

Può essere molto utile a questo punto annerire su un piano cartesiano tutte le zone in cui il grafico della funzione non può passare, se ad esempio nell'intervallo $(a, b)$ la funzione risultasse positiva si annerirà la zona del piano sotto l'asse x, dove x è compresa fra $a$ e $b$ .

[modifica] Calcolo dei limiti

Una volta stabilito il dominio e le particolari caratteristiche che può avere la funzione, si studia il comportamento della funzione sulla frontiera del dominio. In particolare si andrà a calcolare i limiti per x che tende a

$-\infty$ se il dominio è illimitato inferiormente
$+\infty$ se il dominio è illimitato superiormente
$c\in \R$ se $c$ è punto di accumulazione del dominio ma non è un suo punto interno. In alcuni casi sarà necessario limitarsi a calcolare solo il limite destro o il limite sinistro.

[modifica] Continuità / Discontinuità della funzione

Si veda funzione continua e punto di discontinuità.

Il calcolo dei limiti permette di verificare la continuità di una funzione o di valutarne le discontinuità.

[modifica] Individuazione degli asintoti

Con il calcolo dei limiti si è in grado di individuare anche l'esistenza di eventuali asintoti sia verticali, orizzontali che obliqui:

asintoto verticale: è la retta di equazione $x = c$ se $\lim_{x \to c}f(x)= \infty$ ,
asintoto orizzontale: è la retta di equazione $y = l$ se $\lim_{x \to \pm\infty}f(x)=l$ ,
asintoto obliquo: è la retta di equazione y = mx + q se si verificano nell'ordine le seguenti proprietà:
- $\lim_{x \to \pm \infty}f(x)= \pm \infty,$
- $\lim_{x \to \pm \infty}\frac{f(x)}{x}= m; \mbox{ con } m \ne \pm \infty,\mbox{ e con } m\ne 0$
- $\lim_{x \to \pm \infty}(f(x)-mx)= q,$

Da notare che potranno esserci:

da zero a infiniti asintoti verticali,
da zero a due asintoti orizzontali,
da zero a due asintoti obliqui.

Si devono inoltre precisare alcune caratteristiche specifiche:

le funzioni goniometriche non presentano alcun asintoto,
una funzione che ammette asintoti orizzontali, non ammette quelli obliqui e viceversa, mentre non c'è alcuna restrizione per gli asintoti verticali,
Un asintoto verticale esiste se e solo se ci sono dei candidati asintoti nel campo d'esistenza, ovvero se la funzione è definita su tutto il campo dei Reali, non esiste alcun asintoto verticale.

[modifica] Derivata prima

A questo punto si effettua il calcolo della derivata della funzione per studiarne la crescenza e stabilire l'esistenza di eventuali punti stazionari. Tramite lo studio del segno della derivata si è in grado di individuare eventuali punti di massimo o di minimo.

Si veda la voce sul punto estremante.

Ci si occuperà quindi di studiare il segno della funzione derivata in modo da individuare per quali valori di x essa è positiva, negativa o nulla.

dove $f$ è derivabile e $f'(x) > 0$ , $f$ è crescente,
dove $f$ è derivabile e $f'(x) < 0$ , $f$ è decrescente,
dove f è derivabile e f'(x) = 0, f ha nel punto x
- un massimo relativo o un minimo relativo se il segno della derivata prima e dopo il punto x (cioè in un suo intorno) è discorde,
- un punto di flesso se il segno della derivata è costante in un intorno di 'x.

[modifica] Derivata seconda

Per avere una maggiore precisione nello studio di una funzione si effettua inoltre lo studio della derivata seconda in modo da valutare se esistono punti di flesso (punti dove la derivata seconda si annulla) e intervalli di convessità.

[modifica] Relazione con derivata seconda

Se $f'(x)$ è derivabile in $x$ :

se $f''(x) > 0$ allora $f$ è convessa in x,
se $f''(x) < 0$ allora $f$ è concava in x,
se $x$ è un punto di flesso allora la $f''(x) = 0$ .

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../s/t/u/Studio_di_funzione.html"

Categoria: Funzioni reali di variabile reale