Funzioni pari e dispari
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
In matematica, le funzioni pari e le funzioni dispari sono funzioni che soddisfano delle particolari relazioni di simmetria riguardo ai valori negativi. Sono importanti in molte aree dell'analisi matematica, in particolare nella teoria delle serie di potenze e delle serie di Fourier.
Indice[nascondi] |
[modifica] Funzioni pari
Sia una funzione a valori reali di variabile reale. Allora
è pari se per ogni
vale l'equazione:
Geometricamente, una funzione pari è simmetrica rispetto all'asse .
Il nome pari deriva dal fatto che le serie di Taylor di una funzione pari contengono solo potenze pari.
Esempi di funzioni pari sono .
[modifica] Funzioni dispari
Ancora sia una funzione a valori reali di variabile reale. Allora
è dispari se per ogni
vale l'equazione:
Geometricamente, una funzione dispari è simmetrica rispetto all'origine.
Il nome dispari deriva dal fatto che le serie di Taylor di una funzione dispari contengono solo potenze dispari.
Esempi di funzioni dispari sono .
[modifica] Alcune informazioni
[modifica] Proprietà fondamentali
- l'unica funzione che è sia pari che dispari è la funzione costante
- in generale, la somma di una funzione pari e di una dispari non è né pari né dispari; ad esempio,
- la somma di due funzioni pari è a sua volta pari, ed il prodotto di una funzione pari per una costante è pure pari
- la somma di due funzioni dispari è a sua volta dispari, ed il prodotto di una funzione dispari per una costante è pure dispari
- il prodotto di due funzioni pari è una funzione pari
- il prodotto di due funzioni dispari è una funzione pari
- il prodotto di una funzione pari e di una funzione dispari è una funzione dispari
- la derivata di una funzione pari è dispari
- la derivata di una funzione dispari è pari
[modifica] Serie
- la serie di Taylor di una funzione pari contiene solo potenze pari
- la serie di Taylor di una funzione dispari contiene solo potenze dispari
- la serie di Fourier di una funzione periodica pari contiene solo termini coseno
- la serie di Fourier di una funzione periodica dispari contiene solo termini seno
[modifica] Strutture algebriche
- ogni combinazione lineare di funzioni pari è pari, e le funzioni pari formano uno spazio vettoriale sui reali. Similarmente, ogni combinazione lineare di funzioni dispari è dispari, e anche le funzioni dispari formano uno spazio vettoriale sui reali.
Ogni funzione può essere scritta unicamente come somma di una funzione pari e di una funzione dispari:
- le funzioni pari formano un'algebra commutativa sui reali. Tuttavia, le funzioni dispari non formano un campo sui reali.