Sviluppo asintotico

Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.

In matematica con il termine sviluppo asintotico, o con gli equivalenti serie asintotica e sviluppo di Poincaré si intende una serie formale di funzioni, non necessariamente convergente, tale che, troncata ad un numero finito di termini, fornisce un'approssimazione di una data funzione per un valore particolare.

[modifica] Definizione matematica

Sia $\{\phi_n\} \!$ una successione di funzioni continue in un dato dominio tali che valga, per ogni n (secondo la notazione di Landau):

$\phi_{n+1}(x) = o(\phi_{n}(x)) \ \mbox{ per } x \rightarrow x_{0}$ dove $x_{0} \!$ è un punto del dominio.

Data $f(x) \!$ è una funzione continua in $x_{0} \!$ , è possibile determinare dei coefficienti $a_{n} \!$ tali che, valga per ogni N:

$f(x) = \sum_{n=0}^N a_n \phi_{n}(x) + O(\phi_{N+1}(x)) \ \mbox{ per } x \rightarrow x_{0}$

La serie ottenuta $\sum_{n=0}^\infty a_n \phi_{n}(x)$ si definisce sviluppo asintotico di $f(x) \!$ in $x_{0} \!$ rispetto alle funzioni $\{\phi_n\} \!$ .

Analogamente si può scrivere:

$f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty a_n \phi_n(x) \ \mbox{per } (x \rightarrow x_{0})$

Bisogna notare che i coefficienti della serie tali da soddisfare le suddette condizioni sono univocamente determinati dalla relazione:

$a_{N+1} = \frac{f(x)-\sum_{n=0}^N a_{n}\phi_{n}(x)}{\phi_{N+1}} \ \mbox{per } x \rightarrow x_{0})$

In questo modo le serie asintotiche risultano essere una generalizzazione delle Serie di Taylor. Tra i metodi per costruire tali sviluppi vi sono la formula di Euler-Maclaurin e trasformate integrali quali la trasformata di Laplace e la trasformata di Mellin. Spesso si riesce ad individuare uno sviluppo asintotico effettuando ripetute integrazioni per parti.

[modifica] Un esempio esplicativo

Sia consideri la seguente funzione integrale:

$f(x)= \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-t}}{x+t}dt$

Cerchiamo il suo sviluppo asintotico per $x > > 1$ . In questo caso la soluzione si trova direttamente sfruttando l'identità della Serie geometrica

$\frac{1}{x+t}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{1+t/x}\right)= \sum_{n=0}^N\frac{(-1)^n}{x^{n+1}}t^n -\frac{1}{x^{N+1}}\frac{t^{N+1}}{x+t}$

sostituendo questa espressione si ottiene immediatamente che:

$f(x)=\sum_{n=0}^N\frac{(-1)^n}{x^{n+1}}\Gamma(n+1)+ R_{N}(x)$

dove $R_{N}(x)= -\frac{1}{x^{N+1}}\int_{0}^{\infty}\frac{t^{N+1}e^{-t}}{x+t}dt$

Questa espressione soddisfa tutte le suddette proprietà, quindi è possibile concludere che:

$f(x) \sim \sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}$

Lo stesso sviluppo si ottiene anche applicando più volte l'integrazione per parti o con il metodo asintotico di Laplace.

[modifica] Sviluppi asintotici notevoli

Funzione Gamma

$\frac{\exp(x)}{x^x \sqrt{2\pi x}} \Gamma(x) \sim 1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}-\frac{139}{51840x^3}-\cdots \ (x \rightarrow \infty)$

Integrale esponenziale

$x\exp(x)E_1(x) \sim \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nn!}{x^n} \ (x \rightarrow \infty)$

Funzione zeta di Riemann

$\zeta(s) \sim \sum_{n=1}^{N-1}n^{-s} + \frac{N^{1-s}}{s-1} + N^{-s} \sum_{m=1}^\infty \frac{B_{2m} s^\overline{2m-1}}{(2m)! N^{2m-1}}$

dove i $B k$ sono i numeri di Bernoulli ed $s^\overline{2m-1}$ denota un fattoriale crescente. Questo sviluppo è valido per tutti gli s complessi e si usa spesso per calcolare la funzione zeta utilizzando un valore abbastanza elevato di N, ad esempio $N > | s |$ .