Teorema di Crocco

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Il Teorema di Crocco, enunciato da Luigi Crocco, è un teorema applicato in meccanica dei fluidi. Può essere formulato come:

$T \vec{\nabla} s - (\vec{\nabla} \times \vec{V}) \times \vec{V} = \vec{\nabla} H$

dove T è la temperatura, s è la entropia e H è l'entalpia. Questo teorema mostra che in un flusso omoentalpico si ha una vorticità diretta normalmente al vettore velocità ed al gradiente di entropia. Ma soprattutto se il flusso oltre a essere omoentalpico è anche omoentropico il teorema di Crocco mostra che la vorticità è nulla e il flusso è irrotazionale.

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Nelle ipotesi di fluido ideale, in assenza di onde d'urto, le equazioni di conservazione della massa:

$\frac{D\rho}{Dt} + \rho \vec{\nabla} \cdot \vec{V} = 0$

della quantità di moto:

$\rho \frac{D \vec{V}}{Dt} + \vec{\nabla}p = \mu \nabla^2 \vec{V} + (\lambda + \mu) \vec{\nabla} (\vec{\nabla} \cdot \vec{V})$

e dell'energia:

$\rho \frac{De}{Dt} + p \vec{\nabla}\cdot \vec{V} = k \nabla^2 T + \mu \phi$

dove p è la pressione statica, ρ è la densità del fluido, φ è la funzione di dissipazione, μ è la viscosità dinamica e λ è unguale a −2/3 di μ. Per un flusso stazionario assumono la forma:

$\vec{V} \cdot \vec{\nabla} \rho + \rho \vec{\nabla} \cdot \vec{V} = 0$

$\vec{\nabla} \frac{V^2}{2} + (\vec{\nabla} \times \vec{V}) \times \vec{V} + \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p = 0$

$\vec{\nabla} \cdot (\vec{\nabla} h - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p) = 0$

dove si è fatto uso della espressione dell'accelerazione di Lagrange:

$\frac{\vec{V}}{Dt} = \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + \vec{\nabla} \frac{V^2}{2} + (\vec{\nabla} \times \vec{V}) \times \vec{V}$ .

Eliminando il termine

$\frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p$

tra l'equazione di conservazione della quantità di moto e dell'energia e tenedo conto che

$\vec{V} \cdot (\vec{\nabla} \times \vec{V}) \times \vec{V} = 0$

si ottiene:

$\vec{V} \cdot \vec{\nabla} \left( h + \frac{V^2}{2} \right) = 0$ .

Questa espressione mostra che l'entalpia totale si mantiene costante lungo una linea di corrente.

Nel caso in cui un flusso all'infinito a monte sia uniforme e che quindi abbia lo stesso valore dell'entalpia totale sulle diverse linee di corrente, allora il flusso si dice omentalpico e l'ultima espressione si riduce a:

$\vec{\nabla} \left( h + \frac{V^2}{2} \right) = 0$

ovverosia:

H = c o s t a n t e

Eliminando il termine

$\frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p$

tra l'equazione di conservazione della quantità di moto ed il primo principio della termodinamica scritto nella forma:

$T \vec{\nabla} s = \vec{\nabla} h - \frac{1}{\rho} \vec{\nabla} p$

si ottiene:

$T \vec{\nabla} s - (\vec{\nabla} \times \vec{V}) \times \vec{V} = \vec{\nabla} H$ .

Quest'ultima espressione è nota come teorema di Crocco ed indica che in un flusso omentalpico si ha una velocità diretta normalmente al vettore velocità ed al gradiente dell'entropia. Se il flusso oltre ad essere omentalpico è anche omentropico, allora il gradiente dell'entropia è nullo, ed il teorema di Crocco mostra che la vorticità è nulla, dunque il flusso è irrotazionale.

Estratto da "http://it.wikipedia.org../../../t/e/o/Teorema_di_Crocco_299e.html"

Categoria: Fluidodinamica

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