Teorema di Liouville (analisi complessa)
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Il teorema di Liouville è un teorema dell'analisi complessa riguardante una proprietà caratteristica delle funzioni intere.
Indice |
[modifica] Enunciato
Teorema di Liouville
Sia 
una funzione intera. Se esiste 
tale che 
per ogni 
(f è limitata) allora f è costante.
[modifica] Dimostrazione
Visto che f è intera si potrà scrivere un suo sviluppo attorno all'origine:
Per i coefficienti, valgono le seguenti relazioni ricavabili tramite il Teorema integrale di Cauchy e la formula di Cauchy:
dove CR è la circonferenza centrata nell'origine e di raggio R, abbastanza grande da contenere z. Vale la seguente disuguaglianza:
Se si impone adesso che il modulo di f sia limitato dal numero positivo M, si vede che per tutti gli i naturali diversi da 0, la quantità M / Ri e di conseguenza ai tende a 0 se R tende all'infinito. Di conseguenza ai = 0 per ogni 
, che è la tesi.
[modifica] Note aggiuntive
Il teorema di Liouville può essere rafforzato dal piccolo teorema di Picard che afferma che l'immagine di 
attraverso una funzione intera è o tutto il piano complesso o il piano complesso privato di un punto.
Il teorema di Liouville permette di ottenere inoltre una semplice dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra.
