Termometro a liquido

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Il termometro a liquido è il più comune termometro usato per le misurazioni di temperatura: in particolare quello a Mercurio. Esso sfrutta le proprietà di dilatazione termica di un liquido per variazioni di temperatura, che segue la legge lineare:

V = V 0 α T

dove $V 0$ è il volume del liquido alla temperatura di riferimento (per es. 0 °C), $α$ è il coefficiente di dilatazione termica in $[K - 1]$ . La temperatura viene calibrata in base per esempio alla temperatura di solidificazione ed ebollizione dell'acqua e poi questo intervallo viene diviso in cento parti ottenendo la scala Celsius, oppure usando il punto triplo dell'acqua.

Il termometro a liquido si basa sul contatto termico con la sostanza che si vuole misurare e quindi sul Principio zero della termodinamica. In particolare esso è costruito in modo che il coefficiente di dilatazione termica $α$ del liquido termometrico sia molto più grande di quello del tubo di vetro (circa cento volte più piccolo) in cui è contenuto, per ovvi motivi, la temperatura misurata sarebbe notevolmente falsata in caso contrario.

In base a quanto detto circa il contatto termico, la temperatura della sostanza che si vuole misurare in verità è diversa dalla temperatura misurata dal termometro: sia $T 1$ e $C 1$ la temperatura e la capacità termica della sostanza che si vuole misurare, e $T t$ , $C t$ la temperatura del termometro prima del contatto termico e la sua capacità termica: mettendo a contatto il termometro e la sostanza $T 1 > T t$ , si raggiunge dopo un certo tempo la temperatura di equilibrio $T e q$ , in questo modo all'equilibrio, la quantità di calore che si trasferisce al termometro è la stessa di quella che la sostanza perde:

C t (T e q - T t) = C 1 (T 1 - T e q)

dunque:

$T_{eq}= \frac{T_1 + \frac{C_t}{C_1} T_t}{1 + \frac{C_t}{C_1}}$

quindi per essere perfetto il termometro dovrebbe misurare $T e q = T 1$ , ciò avviene solo se $C t < < C 1$ . L'errore che si commette è un errore sistematico quantificabile come:

$\Delta T_{eq} = |T_{eq} - T_1| = \frac{|T_1 -T_t|}{1 + \frac{C_t}{C_1}}$

che tende a zero solo se $C_t \ll C_1$ .

[modifica] Intervallo di funzionamento

Il termometro a liquido in generale ha un range limitato poichè esso deve rientrare nell'intervallo di temperatura tra quella di solidificazione e di ebollizione del liquido termometrico. Inoltre non può mai superare la temperatura di fusione del vetro o del recipiente con cui è fatto il termometro, il vetro comincia a deformarsi intorno a 500°C.

Il termometro a Mercurio soddisfa molto bene alcune caratteristiche: esso ha un intervallo di funzionamento che va da -38 °C a 350 °C, con un coefficiente $α = 0.00018 K - 1$ , coefficiente che in buona approssimazione non dipende dalla temperatura e quindi la sua legge resta quella lineare scritta sopra.

In alcuni casi, per scopi più particolari, si possono usare altri liquidi, che hanno un range di temperatura diverso: Alcool, Pentano, Toluolo.

[modifica] Precisione e Sensibilità

Il termometro a liquido ha una precisione limitata dall'attrito del liquido con il tubo che lo contiene. Questo attrito implica che misure successive della stessa temperatura non fornisca la stessa lettura sulla scala graduata.

Il termometro a liquido e quello a Mercurio in particolare hanno una sensibilità limitata: la sensibilità dello strumento è definita come la massima variazione della grandezza da misurare apprezzabile dallo strumento:

$s = \frac{risposta}{grandezza}$

che, nel caso del termometro, la risposta dello strumento è l'altezza del liquido termometrico, e la grandezza da misurare è la temperatura:

$s = \frac{dh}{dT}$

Se A è la sezione del tubo che contiene il liquido e V il volume, $dV = A \cdot dh$ e sfruttando la nota relazione sulla dilatazione termica otteniamo:

$dh = \frac{V \alpha T}{A}$

quindi la sensibilità:

$dh = \frac{V \alpha}{A}$

La sensibilità quindi dipende dalla sezione A e dal volume V: la sezione però non si può diminuire oltre certi limiti costruttivi e anche perchè l'attrito con il tubo che lo contiene viene ad aumentare, il volume si può rendere più grande a scapito però della prontezza del termometro.

[modifica] Prontezza

Andamento della temperatura di un termometro a liquido nel tempo

La prontezza del termometro è il tempo necessario a che lo strumento reagisca alla sollecitazione. Il calore trasferito attraverso il vetro di superficie S molto maggiore dello spessore L segue la legge di Fourier:

$dQ = k \frac{S \cdot (T_1 - T(t))}{L} dt$

dove $T 1$ è la temperatura della sostanza che si vuole misurare e $T (t)$ la temperatura del termometro nel tempo, k è la costante di conducibilità termica. La quantità di calore che passa attraverso il vetro è la stessa di quella che acquista il liquido termometrico:

$dQ = C_t \cdot dT$

nella stessa frazione di tempo. Allora, mettendo insieme le due formule:

$\frac{dT}{T_1 - T(t)} = \frac{k S}{L C_t} dt$

Chiamiamo $\tau = \frac{L C_t}{k S}$ che ha le dimensioni di un tempo, quindi $τ$ è la costante di tempo del termometro. Integriamo tra 0 e t e otteniamo:

$\ln \frac{T_1 - T(t)}{T_1 - T(0)} = - \frac{t}{\tau}$

quindi:

$T(t) = T_1 - (T_1 - T_0) \cdot e^{- \frac{t}{\tau}}$

dove $T (0)$ è la temperatura iniziale. Questa equazione ci dice che il tempo necessario a che il termometro raggiunga la temperatura della sostanza che si vuole misurare ha andamento esponenziale come in figura. Esso dipende da $τ$ che a sua volta dipende dalle caratteristiche costruttive e dal materiale con cui è costruito il termometro.