Variabile casuale multinomiale

La variabile casuale multinomiale è una variabile casuale discreta che può essere considerata una generalizzazione multivariata della variabile casuale binomiale

Indice

Si può costruire la v.c. multinomiale partendo dal modello di estrazioni con riposizione da un'urna.

In tale urna si trovano q tipi di palline, ciascuno nella proporzione p_j (j = 1, ... .q e chiaramente Σ_jp_j=1).

Si estraggono in modo casuale n palline, ogni volta riponendole nell'urna, cosicché ad ogni estrazione l'urna ha lo stesso contenuto.

Ci si interessa sul numero (X_j) di palline estratte per ciascun tipo (con il vincolo Σ_jX_j=n).

La q-upla (X₁, X₂, ..., X_q) ha la seguente funzione di probabilità che definisce la v.c. in oggetto

$P(X_1=x_1 \and X_2=x_2 \and ... \and X_q=x_q)=$

$= \frac {n!}{x_1! \cdot x_2! \cdot ... \cdot x_q!}p_1^{x_1} \cdot p_2^{x_2} \cdot ... \cdot p_q^{x_q}=$

$={n \choose x_1, \dots , x_q}\cdot p_1^{x_1} \cdot p_2^{x_2} \cdot ... \cdot p_q^{x_q},$

dove la frazione, ovvero ${n \choose x_1, \dots , x_q}$ , sono il cosiddetto coefficiente multinomiale.

Le q variabili casuali X_j hanno il valore atteso

E (X j) = n p j

V(X j) = n p j (1 - p j)

La covarianza di due differenti v.c. X_j und X_k è pari a

${\rm Cov}(X_j,X_k) = -n\,p_j\,p_k$

Si nota che se q=2, allora si tratta di una variabile casuale binomiale.

Nell'ambito dellinferenza bayesiana si usa il seguente teorema:

Se X è distribuita come una variabile casuale multinomiale

f (x | θ) = M u l t i n o m i a l e k (θ 1,θ 2,...,θ k)

e la distribuzione a priori di θ è una variabile casuale di Dirichlet

g (θ) = D i r i c h l e t (α 1,α 2,...,α k)

allora la distribuzione a posteriori di θ è anch'essa una v.c. di Dirichlet, ma con nuovi parametri

g (θ | x) = D i r i c h l e t (α 1 + x 1,α 2 + x k,...,α k + x k)